Suma de raíces cúbicas de complejos conjugados

Question

Cuando la solución de la siguiente ecuación cúbica:

$$x^3 - 15x - 4 = 0$$

Tengo una de las soluciones:

$$x = \sqrt[3]{2 {\color{red}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{red}-} 11i}$$

Cuando he calculado que con una calculadora de mano, que resultó ser exactamente $4$. Y de hecho, cuando yo sustituto $x=4$ en la ecuación original, se trata de una solución. Así que esto parece ser cierto:

$$\sqrt[3]{2 {\color{red}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{red}-} 11i} = 4$$

Así que tenemos una suma de las raíces cúbicas de complejo de números que, sin embargo, pasa a producir un verdadero resultado. Así que me imagino que estos dos raíces cúbicas debe ser complejos conjugados de cada uno de los otros, que parece ser el caso, a juzgar por el hecho de que los números que aparecen en el cubo raíces son complejos conjugados de cada uno de los otros (nota de los signos que he marcado con rojo).
Complejos conjugados son "imágenes de espejo" de cada uno de los otros, de modo que cuando se suman, que producen un resultado real.
Raíces cúbicas de complejos conjugados dividir sus ángulos por 3, por lo que los resultados deben permanecer complejos conjugados, y supongo que esta es la razón por la que suman un número real así. Estoy en lo cierto?

Lo que me molesta, sin embargo, es cómo podemos PROBAR que la identidad con el álgebra?

Aquí es lo que he intentado:
Yo cubos de la ecuación:

$$x \;=\; \sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i} \;=\; 4\\ x^3 \;=\; \left( \sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i} \right)^3 \;=\; 4^3 \;=\; 64$$

ampliado el medio del teorema del binomio:

$$x^3 \;=\; \left(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right)^3 + 3\!\cdot\!\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i}\!\cdot\!\sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 2 {\color{rojo}+} 11i + 2 {\color{rojo}-} 11i + 3\!\cdot\!\sqrt[3]{\left(2 {\color{rojo}+} 11i\right)\left(2 {\color{rojo}-} 11i\right)}\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 4 + 3\!\cdot\!\sqrt[3]{2^2 - (11i)^2}\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 4 + 3\!\cdot\!\sqrt[3]{4 + 121}\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 4 + 3\!\cdot\!\sqrt[3]{125}\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 4 + 3\!\cdot\!5\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64\\ x^3 \;=\; 4 + 15\!\cdot\!\a la izquierda(\sqrt[3]{2 {\color{rojo}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{rojo}-} 11i}\right) \;=\; 4^3 \;=\; 64$$

Pero ahora la expresión que se mantuvo en paréntesis es más que el original de $x$ empecé con! Cuando tratando de encontrar la respuesta, me encuentro con la pregunta original de nuevo :/ pero No sólo eso, reemplazándolo con $x$ me da la original cúbicos ecuación empecé con ;/

$$x^3 = 4 + 15x\\x^3 - 15x - 4 = 0$$

¿Por qué estoy yendo en círculos con esto? Y ¿qué otras técnicas se pueden utilizar para romper este y demostrar que la suma de las raíces cúbicas de hecho es igual al número real $4$?

Inb4: ya he averiguado geométricamente que esta suma de cubos es realmente igual a $4$, pero ahora me gustaría que se demostró de manera algebraica, y aprender un método general de lidiar con la suma de los cubos de los complejos conjugados.

Edit: Todas las respuestas hasta el momento parecen estar basadas en la suposición de que sé que esta expresión compleja es igual a 2, ya (por ejemplo, mediante la restauración de la original de la ecuación cúbica y la búsqueda de sus raíces racionales). Lo que estoy bastante interesado en el, es cómo encontrar el equivalente soluciones reales al restaurar el original cúbicos ecuación no funciona, porque no pueden ser resueltos por las raíces racionales teorema.

Answer 1

Sólo tenga en cuenta que $(2+i)^3=2+11i$ y que $(2-i)^3=2-11i$. Por lo tanto, una opción natural es %#% $ #%

Answer 2

Recordemos la derivación de la solución de la ecuación cúbica $x^3+px+q=0$: $x=u+v$ no asumimos ni obtener $$x^3+px+q=u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v).$$ So if we additionally assume $$3uv+p=0\tag1,$$ we must also have $$u^3+v^3+q=0\tag2,$$ and from (1) and (2) we easily get a quadratic equation for $u ^ 3, v^3$. So $x$ is a sum of two cube roots, but those aren't independent, they must satisfy (1). In the complex case, there are 3 values for each cube root, giving 9 combinations, but (1) reduces that to 3 valid combinations. In your case, the other two valid combinations give the other two solutions of your cubic equation, both are real, too: $x=-2\pm\sqrt{3}$.
Se Obtén de la ecuación cuadrática $x^2+4x+1=0$, resultantes de la división de $x^3-15x-4$ $x-4$.

Answer 3

Esto no siempre funciona tan bien, y no es probable que un acceso directo o al menos de una manera más eficiente de resolver las ecuaciones geométricas, pero aquí es una estrategia que funciona para una variedad de casos especiales, incluyendo,$\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$.

El uso de la forma polar de los números complejos, podemos ver que el valor que estamos buscando es $2\sqrt{5}\cos\left(\dfrac{\arctan\frac{11}{2}}{3}\right)$. Podemos entender este coseno dibujando el triángulo en el plano complejo con vértices $0$, $2$, y $2+11i$ y trisecting el ángulo en el $0$.

A continuación, tenemos las siguientes ecuaciones:

1. $a+b+c=11$ debido a que es la altura del triángulo.
2. $2^2+a^2=x^2$ por el Teorema de Pitágoras en el más pequeño triángulo.
3. $2^2+(a+b)^2=y^2$ por el Teorema de Pitágoras.
4. $2^2+11^2=z^2$ por el Teorema de Pitágoras.
5. $\frac{b}{a}=\frac{y}{2}$ por el Teorema de la Bisectriz de un Ángulo.
6. $\frac{c}{b}=\frac{z}{x}$ por el Teorema de la Bisectriz de un Ángulo.
7. $\frac{2}{x}$ es el coseno estamos buscando por derecho triángulo trig.

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Ahora solo tenemos que hacer el terrible álgebra: Podemos eliminar $z$ $a$ con ecuaciones 6 y 2, respectivamente, para obtener:

1. $\frac{b}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{y}{2}$ (de 5)
2. $125b^2=x^2c^2$ (a partir del 4 de arriba)
3. $4+\left(\sqrt{x^2-4}+b\right)^2=y^2$ (a partir del 3 de arriba)
4. $\sqrt{x^2-4}+b+c=11$ (a partir del 1 de arriba)

Entonces podemos eliminar $y$ con la ecuación 1 para obtener:

1. $125b^2=x^2c^2$ (2)
2. $4+\left(\sqrt{x^2-4}+b\right)^2=\dfrac{4b^2}{x^2-4}$ (a partir del 3 de arriba)
3. $\sqrt{x^2-4}+b+c=11$ (4)

A partir de aquí tenemos un par de opciones, de las que todos pueden trabajar (podemos eliminar $x$, por ejemplo). Desde $x$ es nuestro objetivo, este es un enfoque dirigido de esa manera: La ecuación 1 nos dice que $c=5\sqrt 5b/x$ y la ecuación 3 puede ser usado para eliminar la raíz cuadrada de la ecuación 2, que nos deja:

1. $4+(11-5\sqrt5\frac{b}x)^2=\frac{4b^2}{x^2-4}$
2. $\sqrt{x^2-4}+b+5\sqrt{5}\frac{b}x=11$

Problemas 1. para $b$ rendimientos $b=5\sqrt{5}x\dfrac{11x^2-44\pm4\sqrt{x^2-4}}{121x^2-500}$. Ya sabemos $x>2$$b<x$, tenemos el negativo de la raíz aquí: $b=5\sqrt{5}x\dfrac{11x^2-44-4\sqrt{x^2-4}}{121x^2-500}$.

Resolución de 2. para $b$ rendimientos $b=\dfrac{x(11-\sqrt{x^4-2})}{x+5\sqrt{5}}$.

La configuración de estos igual nos da una complicada expresión que podemos manipular para resolver la raíz cuadrada: $$\sqrt{x^2-4}=\dfrac{11\left(5\sqrt{5}x^3+4x^2-20\sqrt{5}x\right)}{-121x^2+20\sqrt{5}x+1000}$$

El cuadrado ambos lados y colocar sobre un denominador común (y dividiendo por $4$) nos da: $$\dfrac{121x^6+2420\sqrt{5}x^5+44875x^4-19680\sqrt{5}x^3-429500x^2+40000\sqrt{5}x+1000000}{\left(-121x^2+20\sqrt{5}x+1000\right)^2}=0$$

Nosotros sólo tiene que preocuparse por el numerador, y ya tenemos $\sqrt{5}$ como un factor de cada coeficiente, que será conveniente sustituto $x=\hat{x}*\sqrt{5}$, por lo que la ecuación del numerador se convierte en $15125\hat{x}^6+302500\hat{x}^5+1121875\hat{x}^4-492000\hat{x}^3-2147500\hat{x}^2-200000\hat{x}+1000000=0$. Las pruebas racionales de las raíces nos dice que nosotros tenemos $\hat{x}=-5,1,-\frac{10}{11},\frac{10}{11}$ como raíces. El resto son las raíces de la resultante cuadrática: $\hat{x}=4(-2\pm\sqrt{3})$.

Sabemos $\hat{x}$ debe ser positivo, así que o $1$ o $10/11$, y la comprobación de las otras ecuaciones muestra que $\hat{x}=1$ es correcta, lo que lleva a que el coseno de ser $\dfrac{2}{\sqrt{5}*1}$ y el valor original de ser $2\sqrt{5}*\dfrac{2}{\sqrt{5}*1}=4\checkmark$.

Answer 4

Como alternativa nos podríamos Mostrar algebrically

$$x=z+\bar z\implies x=2Re(z)=2\sqrt 5\cdot \left(\cos \frac{\theta}3\right)=4$$

con

$$\theta = \arccos \frac{2}{5\sqrt5}$$

Answer 5

Aquí es un enfoque extraño: el teorema de la raíz racional.

Posibles factores: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$

Utilizando ensayo y error con división sintética al este polinomio muestra que $4$ es una solución.

Esto no resuelve tu pregunta sobre cómo demostrar la identificación, pero proporciona una solución sencilla a preguntas similares que este método fácilmente aplicable.