Se le suele llamar ecuaciones como
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$
"las ecuaciones de movimiento," porque son las ecuaciones que nos dicen cómo las variables de nuestro sistema (en este caso $q_i$) evolucionan en el tiempo. De hecho, en general, la solución a $n$ segundo orden ecuaciones diferenciales involucra $2n$ integración de las constantes en la solución. Sin embargo, la mayoría de la gente no iba a llamar a estos constantes de integración "leyes de conservación." En el uso general, un "conservado cantidad" $Q$ es una función de las variables de configuración (aquí $q_i$$\dot q_i$) que no cambia en el tiempo cuando la configuración de las variables evolucionan de acuerdo a las ecuaciones de movimiento:
$$\frac{d}{dt} Q(q_i, \dot q_i) = 0.$$
Una mancha de la "prueba" de Noether del teorema es el siguiente. Dicen que usted tiene algunos diferenciable grupo de transformaciones que dejan su Lagrangiano invariante. Imagina cambiar una ruta de acceso en la configuración del espacio por parte infinitesimal del grupo de acción, a través de un pequeño número de $\varepsilon$. Por ejemplo, un infinitesimal de la traducción en el $x$-dirección en el espacio 3D ($i = 1, 2, 3$) vendría dado por
$$q_1 \to q_1 + \varepsilon$$
$$q_2 \to q_2$$
$$q_3 \to q_3$$
$$\dot q_i \to \dot q_i$$
y una rotación infinitesimal en el $xy$-avión sería dada por
$$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$$
$$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$$
$$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2$$
$$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1$$
$$q_3 \to q_3$$
$$\dot q_3 \to \dot q_3$$
En virtud de estas transformaciones, el Lagrangiano $L(q_i, \dot q_i)$ no va a cambiar su valor. En otras palabras, el cambio en el Lagrangiano puede ser expresado como
$$\delta L(q_i, \dot q_i) = \varepsilon A(q_i, \dot q_i)$$
donde $A = 0$ si la acción del grupo es una simetría. Aquí está la mancha de parte: ahora imagina que el parámetro de $\varepsilon$ es dependiente del tiempo, es decir,$\varepsilon(t)$. Para nuestros dos anteriores acciones, las transformaciones, se convertiría en
$$q_1 \to q_1 + \varepsilon$$
$$\dot q_1 \to \dot q_i + \dot \varepsilon$$
$$q_{2} \to q_{2}$$
$$q_{3} \to q_{3}$$
$$\dot q_{2} \to \dot q_{2}$$
$$\dot q_{3} \to \dot q_{3}$$
y
$$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$$
$$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$$
$$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2 + \dot \varepsilon q_2$$
$$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1 - \dot \varepsilon q_1$$
$$q_3 \to q_3$$
$$\dot q_3 \to \dot q_3$$
(cuando el plazo adicional por encima proviene del producto de la regla a la hora de diferenciar por $t$).
Ahora, $\varepsilon(t)$ $\dot \varepsilon(t)$ son tanto los pequeños números que cambiar las rutas en el espacio de configuración. Eso significa que, con sólo hacer una expansión de Taylor de primer orden, el cambio en el $L$ bajo estas transformaciones puede ser expresado como
$$\delta L = \varepsilon A + \dot \varepsilon B$$
donde el $A$ es el mismo $A$ como antes, lo que significa $A = 0$ si la transformación es una simetría. Ahora, en trazados reales, $\delta S = 0$ para cualquier pequeña variación hacemos a nuestro camino. (Que es sólo el principio de la menor acción.) Que incluye nuestro pequeño grupo de acción de la variación. Por lo tanto, en trazados reales,
$$0 = \delta S = \int \delta L dt = \int \dot \varepsilon B dt = - \int \varepsilon \dot B dt.$$
(En el último paso se integra por las partes y las condiciones de contorno impuestas $\varepsilon = 0$ sobre el límite de la integración.)
Por lo tanto, si $\delta S$ $0$ cualquier $\varepsilon$, debemos tener
$$\dot B = 0$$
por lo $B$ es una cantidad conservada. Tenga en cuenta que si nuestra transformación no era una simetría, a continuación, $A \neq 0$ y
$$\dot B = A$$
lo que significa que $B$ iba a cambiar en el tiempo y no ser una cantidad conservada. Esto concluye la prueba de que simetrías dar de leyes de conservación, y también le indica cómo encontrar dicho conservado cantidades.
Ahora todo esto es interesante y agradable. Simetrías implica leyes de conservación. En un sentido, tenemos entendido en "cantidades conservadas" (simetrías). Conserva las cantidades son muy útiles en la física, ya que suelen hacer el análisis del sistema mucho más fácil. Por ejemplo, incluso en la introducción de la física, la conservación del momento y la energía siempre se utilizan para hacer la solución para que el movimiento de una partícula mucho más fácil. En más complicado ejemplos, como por ejemplo un gas de muchas partículas, la evolución del sistema es demasiado complicada como para aspirar a describir. Sin embargo, si usted sabe un par de cantidades conservadas (como la energía, por ejemplo), usted todavía puede obtener una idea bastante buena de cómo el sistema se comporta.
En la teoría cuántica de campos, campos cuánticos se rige también por Lagrangians. Sin embargo, a menudo es difícil de averiguar exactamente lo que el Lagrangiano de campos cuánticos deben estar basados en datos experimentales. Algo que es sencillo determinar a partir de datos experimentales, sin embargo, son cantidades conservadas, como la carga, el número leptónico, número de bariones, débil hyper cambio, y muchos otros. La experimentación puede averiguar lo que estas cantidades conservadas, y luego los teóricos cocinar Lagrangians con simetrías que tienen el derecho de cantidades conservadas. Esto ayuda mucho teóricos en descubrir las leyes fundamentales de la física. Consideraciones de simetrías y cantidades conservadas jugado históricamente un papel importante en reconfigurar el modelo estándar, y siguen desempeñando un papel crucial en los teóricos tratando de averiguar lo que está más allá de ella.
EDIT: Así que, para responder a su pregunta adecuada, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales se han constantes de integración (A. K. A. condiciones iniciales). Sin embargo, a partir de las ecuaciones de movimiento derivado de un Lagrangiano (y es de todos conocido las leyes de la física puede ser escrito con Lagrangians) hemos extra simetrías que tienen un importante significado físico. Además, las soluciones exactas a las ecuaciones diferenciales son generalmente imposibles de resolver para cualquier moderadamente complejo sistema. Por lo tanto, la búsqueda de condiciones iniciales es generalmente una pérdida de tiempo, mientras que el teorema de Noether es fácil de usar.
