Repetimos la frase "método cero" regularmente, pero ¿qué exactamente significa decir «$\delta t$ acercamientos cero»?
P.D. Si esto una estúpida pregunta, entonces por favor, perdóname.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Su pregunta no es estúpida, es el corazón de cálculo.
Un paso previo de álgebra para el cálculo es en el contexto de la pendiente. Álgebra que nos permite encontrar una pendiente promedio, mientras que el cálculo que nos permite encontrar la pendiente instantánea. En otras palabras, el álgebra nos da la pendiente de una línea, mientras que el cálculo nos da la pendiente de un punto.
La pendiente de un punto? Sí, pero vamos a quedarnos con las líneas por ahora. La pendiente de una recta está dada por la siguiente función. Dividimos el cambio en $y$ por el cambio en $x$:
$$m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Sin embargo, si la línea es curva, decir $f(x)=x^2$, entonces cada punto en que la línea tiene una pendiente distinta. Si se nos pide encontrar la pendiente cuando se $x=5$, entonces podemos aproximar por encontrar la pendiente promedio entre el$x=4$$x=6$:
$$m=\frac{6^2-4^2}{6-4}$$
Pero esta no es la respuesta correcta. Si hemos querido acercarnos a la respuesta correcta, vamos a seleccionar los valores que están más cerca de las 5:
$$m=\frac{5.1^2-4.9^2}{5.1-4.9}$$
El patrón a notar es que la más precisa nuestra respuesta es, cuanto menor sea la diferencia entre el$x_2$$x_1$. De hecho, la respuesta correcta se encuentra cuando la diferencia es cero. Sin embargo, cuando vamos a escribir esto, tenemos un problema:
$$m=\frac{0}{0}$$
Específicamente, no podemos dividir por cero. Hemos ido tan lejos como el álgebra nos puede llevar, y necesitamos una nueva manera de hablar acerca de las matemáticas. Necesitamos cálculo. En álgebra, vimos que nos acercamos más y más a la respuesta correcta. En el cálculo, esto se llama el "límite". Nos acercamos más y más al límite como el divisor se acerca más y más a cero. El divisor "se aproxima a cero".
Por último, tenemos "¿Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero?"
Βασίλης Μάρκος
Puntos
706
Imagine el siguiente juego, jugado por dos jugadores:
Ambos jugadores se les da un número, el mismo número (digamos que en nuestro caso es igual a cero) y que se turnan tratando de encontrar un número que está más cerca que el encontrado por el jugador anterior. Después de 100 intentos, si ninguno de ellos ha renunciado, sin embargo, una moneda se voltea para decidir el ganador. $$\begin{align} \text{Player A}&:\text{10}\\ \text{Player B}&:\text{1}\\ \text{Player A}&:\text{0.5}\\ \text{Player B}&:\frac{1}{3}\\ \text{Player A}&:-\frac{1}{\pi}\\ \text{Player B}&:\frac{1}{8}\\ \text{Player A}&:\frac{1}{16}\\ \text{Player B}&:-\frac{1}{1,000}\\ \text{Player A}&:-\frac{1}{1,000,000}\\ \text{Player B}&:\frac{1}{10,000,000}\\ \text{Player A}&:\frac{1}{10^{15}}\\ \text{Player B}&:\frac{1}{10^{3,026}}\\ \end{align}$$ Pronto se dan cuenta de que esto puede durar para siempre. Por ejemplo, si un jugador elige un número, vamos a decir $a$, el otro jugador puede elegir el número de $\frac{a}{2}$, que está siempre más cerca de cero que $a$.
Si realizamos este procedimiento de aproximación de cero con exactitud lo que desea, de tal manera que usted puede encontrar un número, $a$, arbitrariamente cerca de ella -, decimos "$a$ se aproxima a cero".
Así, en términos de números reales, consiguiendo arbitrariamente cerca de un número, en términos de distancia (es decir, el valor absoluto de números reales) es considerado como acercarse a un número con otro. Sin embargo, usted puede alterar la forma de pensar de dos números están cerca, y entonces la situación se vuelve desordenado - a ver, para tales casos, los cursos como el Análisis Real o la Topología.
Nasenhaar
Puntos
31
CodingBytes
Puntos
102
La frase "$x$ se aproxima a cero" es una manera coloquial de la evocación de una precisa el pensamiento abstracto a la figura de la siguiente manera:
(i) Si $x$ es una variable independiente de una función $f$ significa que vamos a ver si $\lim_{x\to0} f(x)$ existe y si sí se tratará de determinar su valor, de acuerdo a las reglas definidas en los libros.
(ii) Si $x$ es una variable dependiente, es decir, $x=f(t)$, y estamos previendo una limitación de proceso $t\to \tau$ para algunos adecuada o inadecuada acumulación punto de $\tau$ del dominio de $f$, "$x$ se aproxima a cero" significa $\lim_{t\to\tau} f(t)=0$, el cual esta última ha de ser ampliada de acuerdo a las reglas dadas en los libros.
joshuaheckroodt
Puntos
9
Tu pregunta está lejos de ser una pregunta estúpida. En tan reciente como el $1960$'s, matemático Abraham Robinson fue pionera en lo que significa para un valor para acercarse a $0$, así que no te preocupes, las cargas de profesionales de reflexionar sobre esta pregunta ;)
Hay diferentes respuestas a esta pregunta dependiendo de la rama de las matemáticas que se encuentran en. Por ejemplo, si está trabajando en el análisis no estándar, para un valor para el enfoque de "cero" significa esencialmente "se convierte en" un infinitesimal. Para ilustrar esta idea, podemos decir que una infinitesimal en el análisis no estándar es un valor que es tan pequeño, que dos números reales, que son una infinitesimal distancia no pueden ser distinguidos unos de otros. Un buen ejemplo es$0.999\ldots$$1$.
Aunque, estoy asumiendo que, dada su etiqueta, la que se está refiriendo específicamente a cálculo. En cuyo caso, considere lo siguiente. Deje $a$ ser una constante. En la recta numérica real, la distancia entre el $0$ y una constante es la constante. Así que a partir de esta idea, podemos decir que para una constante $a$ a un enfoque de $0$, la distancia entre el $a$ $0$ recibe menos y menos, pero $a$ $0$ nunca será exactamente en la parte superior de uno al otro. Podemos asociar esta idea con las implicaciones de un valor se aproxima $0$. Por ejemplo, si hemos tenido alguna función, $g$, de tal manera que $$g(a)=\frac{1}{a}$$then for $un$ to approach $0$, would mean that $g(un)$ would approach (very) large values. Ultimately, trying to understand what it means for single value to approach $0$ can be slightly mind boggling, so as a result, we usually look instead at what a value approaching $0$ implica, lo que ha llevado a algunos hermosos herramientas matemáticas tales como epsilon-delta pruebas y el clásico de derivados, tanto de que, en caso de continuar el estudio del cálculo, de venir a través en su debido tiempo.
