Sea $M$ sea un ideal maximal en $R$ tal que para todo $x\in M$ , $x+1$ es una unidad. Demuestre que $R$ es un anillo local con ideal máximo $M$

Question

Así que estoy tratando de demostrar que si $M$ es un ideal maximal en $R$ tal que para todo $x\in M$ , $x+1$ es una unidad, entonces $R$ es un anillo local con ideal máximo $M$ es decir $R$ tiene un único ideal maximal.

Llevo un día con esto y no me aclaro. Tengo que $R$ sea un anillo local es equivalente a que exista un ideal propio $I$ de $R$ que contiene todas las no unidades de $R$ y también equivalente al conjunto de no unidades de $R$ ser un ideal.

El conjunto de $x+1$ para $x\in M$ es a su vez multiplicativo, pero no estoy seguro de a dónde ir con eso ya que invertir ese conjunto sólo devuelve $M$ (ya que todas son unidades). No he conseguido demostrar nada sobre los elementos de $R$ que no están en $M$ ni de la forma $x+1$ para $x\in M$ .

También intenté suponer que había algún otro ideal máximo $N$ y luego tratar de sacar una contradicción mirando el ideal $M+N$ está claro que si $M+N$ no contiene $1$ entonces tengo mi contradicción, pero no parece que tenga suficiente información para seguir ese camino.

¿Alguien puede orientarme? Gracias.

Answer 1

En realidad al escribir esto creo que lo he resuelto:

Supongamos que existiera otro ideal maximal $N$ . Entonces, si $1\in M+N$ entonces existe $1 = m+n\in M+N$ y así $n = -m+1$ y puesto que $m\in M$ implica $-m\in M$ Esto significa que $n = -m+1$ es una unidad y, por tanto $N=R$ . Por lo tanto $M+N$ no debe contener $1$ y así hemos encontrado un ideal propio de $R$ que contiene $M$ contradiciendo el hecho de que $M$ es máxima.

Answer 2

Puedes encontrar la respuesta en Atiyah-Macdonald. Lo repetiré aquí:

Dos pasos:

1. Si cada $y \in R-M$ es una unidad, entonces $R$ es un anillo local. De hecho, todo ideal $\neq (1)$ está formado por no unidades, por lo que está contenido en $M$ .

2. En este caso, dejemos que $y\in R-M$ demostramos que $y$ es una unidad. Dado que $M$ es máxima, $(y) + M = (1)$ por lo que existe $r\in R$ y $x\in M$ tal que $ry-x=1$ Así que $ry=1+x$ es una unidad, entonces $y$ es una unidad.

Answer 3

Dado $x\in M$ la hipótesis implica que $1+xr $ es invertible para cada $r\in R$ .
Por lo tanto $x\in Jac(R)$ el radical de Jacobson de $R$ (Atiyah-Macdonald, Proposición 1.9), por lo que $M\subset Jac(R)$
Pero el radical de Jacobson es por definición la intersección $Jac(R)=\bigcap M_i$ de todos los ideales maximales $M_i$ de $R$ .
Así pues, tenemos $M\subset\bigcap M_i $ lo que implica inmediatamente que $M$ es el único ideal maximal de $R$ .

Answer 4

Sugerencia $\ $ Ponga $\rm\,J = \it M\ $ en $(2\Rightarrow 1)$ a continuación, obteniendo $\rm\:1+{\it M}\, \subset U\:$ $\Rightarrow$ $\, M\,$ está en todo ideal maximal, por lo tanto $\,M\,$ es el único ideal maximal.

Teorema $\ $ TFAE en anillo $\rm\:R\:$ con unidades $\rm\:U,\:$ ideal $\rm\:J,\:$ y Jacobson radical $\rm\:Jac(R)\:.$

$\rm(1)\quad J \subseteq Jac(R),\quad $ es decir $\rm\:J\:$ se encuentra en cada ideal máximo $\rm\:M\:$ de $\rm\:R\:.$

$\rm(2)\quad 1+J \subseteq U,\quad\ \ $ es decir $\rm\: 1 + j\:$ es una unidad para cada $\rm\: j \in J\:.$

$\rm(3)\quad I\neq 1\ \Rightarrow\ I+J \neq 1,\qquad\ $ es decir, los ideales propios sobreviven en $\rm\:R/J\:.$

$\rm(4)\quad M\:$ max $\rm\:\Rightarrow M+J \ne 1,\quad $ es decir, los ideales máximos sobreviven en $\rm\:R/J\:.$

Prueba $\: $ (boceto) $\ $ Con $\rm\:i \in I,\ j \in J,\:$ y max ideal $\rm\:M,$

$\rm(1\Rightarrow 2)\quad j \in all\ M\ \Rightarrow\ 1+j \in no\ M\ \Rightarrow\ 1+j\:$ unidad.

$\rm(2\Rightarrow 3)\quad i+j = 1\ \Rightarrow\ 1-j = i\:$ unidad $\rm\:\Rightarrow I = 1\:.$

$\rm(3\Rightarrow 4)\ \ \ $ Sea $\rm\:I = M\:$ máx.

$\rm(4\Rightarrow 1)\quad M+J \ne 1 \Rightarrow\ J \subseteq M\:$ por $\rm\:M\:$ máx.

Answer 5

Si hablamos en términos de álgebra conmutativa, donde sí tenemos identidad multiplicativa y conmutatividad garantizadas en todos los anillos, entonces supongo que podría añadir algo a la respuesta de fmoura2005. (Siguiendo el libro de Atiyah-Macdonald Introduction To Commutative Algebra). Así que sabemos que $ry$ es una unidad y por lo tanto invertible, lo que significa que hay algún $w$ por ejemplo, de forma que $w(ry)=1$ y $(ry)w=1$ . Ahora tenemos $(wr)y=1$ (asociatividad), lo que significa $y$ es una unidad y, por supuesto $y(wr)=1$ (por conmutatividad). Así que $y$ es una unidad y es de $R-M$ y por lo tanto, utilizando la primera parte de la respuesta de fmoura2005, obtenemos que $R$ es un anillo local.