Fuerza como cambio de momento frente a cambio de velocidad

Question

¿Existe alguna situación en la que la distinción entre $F = m \frac{dv}{dt}$ y $F = \frac{dp}{dt}$ ¿es importante? No se me ocurre ninguna situación en la que una cosa sea cierta y la otra no (suponiendo únicamente la conservación del momento).

Evidentemente, es importante tener en cuenta una masa cambiante (por ejemplo, para un cohete) cuando se plantea una evolución a tiempo completo, es decir $F(t) = m(t) \frac{dv}{dt}$ (o en el caso relativista, quizás algo como $F(t) = m(t) \frac{d}{dt} \left( \frac{p}{m} \right)$ con $m$ la masa en reposo). Y quizás exista una relación no trivial entre la tasa de cambio de masa y las fuerzas que se ejercen (de nuevo, por ejemplo, con un cohete, donde la pérdida de masa está ligada a la propulsión). Lo que no está claro es que deba haber alguna vez una $F = v\frac{dm}{dt}$ plazo.

Answer 1

Sí, y un cohete es un buen ejemplo. En $$F=m\left( \frac{dv}{dt} \right)$$ asumes que la masa es constante. Si la masa es variable, como en un cohete que quema combustible, hay que tenerlo en cuenta, $$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\left( mv \right)\; =\; m\frac{dv}{dt}\; +\; v\frac{dm}{dt}$$ donde la m es decreciente. Si jugueteas con esto puedes obtener la Ecuación del Cohete. Empieza examinando el movimiento con m sustituido por $$\left( m+\Delta m \right)$$ donde el delta m puede ser negativo, y utilizar algunas ideas de la conservación del momento.

Answer 2

En mecánica clásica, la segunda ley de Newton sólo se aplica a sistemas de masa constante. En esos casos no hay diferencia entre $F=ma$ y $F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$ . Sin embargo, en la relatividad especial la segunda es válida, pero la primera no. Es necesaria una definición relativista del momento: $p=\gamma m v$ .

Algunos detalles

[Algunas de las respuestas dadas hasta ahora responden a la OP, pero tienen puntos débiles que pueden llevar a conceptos erróneos sobre Newton 2. Intentaré abordar la cuestión.

Algunas de las respuestas hasta ahora no son del todo correctas si por $p$ se entiende $mv$ del cohete. La segunda ley de Newton sólo es válida para sistemas de masa constante. $F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$ conduce a la ecuación del cohete por accidente si el propulsor se agota en dirección opuesta a la dirección del movimiento. Si se tiene mucho cuidado con lo que se entiende por $p$ se puede hacer un análisis correcto, pero $p=m_\mathrm{rocket}v_\mathrm{rocket}$ no funciona.

Esta entrada de Wikipedia. es la declaración más clara de este hecho que he encontrado.

Para ver por qué, consideremos un sistema compuesto por el cohete más su combustible restante y el propulsante restante que es lo que creo que pretenden los demás. (Puede que me equivoque, pero si es así, deberían aclarar cuál es exactamente su sistema).

Imaginemos que el sistema se mueve a velocidad constante, y que tiene dos propulsores apuntando perpendicularmente a la dirección del movimiento, y directamente opuestos entre sí, y produciendo un empuje constante idéntico mediante la expulsión de gases de escape. La fuerza de empuje de ambos es igual y opuesta. Por tanto, la fuerza neta sobre el cohete es cero. Entonces $F_{net}=0$ y $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0$ y $v \neq 0$ y $\mathrm{d}m/\mathrm{d}t \neq 0$ . Aplicar ciegamente $F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$ conduce a $0=v\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$ una contradicción que sólo puede resolverse si la masa es inmutable.

Comentarios sobre algunos comentarios

El sistema pierde impulso al perder masa, pero su velocidad no cambia: no hay fuerza neta sobre el sistema. El momento se conserva en cerrado sistema formado por el cohete y el propulsante agotado. El sistema formado por el cohete más el combustible y el propulsante. aún no agotado (combustible restante en el depósito) es un abra sistema. La conservación del momento no se aplica a los sistemas abiertos.

El análisis minucioso de un sistema de masa variable conduce a $$ \vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ donde $\vec{u}$ es la velocidad de la masa que abandona el sistema en relación con la velocidad del sistema y $\vec{F}_\mathrm{ext}$ es la fuerza externa sobre el sistema. Para un cohete $\vec{F}_\mathrm{ext}=0$ y $$ 0=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ Esto es no lo mismo que $$ 0=\vec{v}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ donde $\vec{v}$ es la velocidad del cohete.

Intentando escribir $F = m\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t + v\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$ para un sistema de masa variable no es correcta. aquí está una bonita discusión cuyas primeras frases son "En mecánica, un sistema de masa variable es un conjunto de materia cuya masa varía con el tiempo. La segunda ley del movimiento de Newton no puede aplicarse directamente a un sistema de este tipo porque sólo es válida para sistemas de masa constante."

Los ingenieros aeronáuticos saben todo esto. Sólo los físicos están confundidos. Revisé algunos libros. Los textos de mecánica clásica de Symon y John R. Taylor lo explican bien, al igual que Halliday, Resnick y Walker.

Answer 3

En electrodinámica, la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento $q$ $$ \vec F = q \left( \vec E + \vec v \times\vec B \right) $$ puede reescribirse como la fuerza por unidad de volumen $dV$ a cargo distribución de la densidad , $\rho$ con densidad de corriente $\vec J$ : $$ \vec F = dV\ \vec f = dV \left( \rho\vec E + \vec J \times \vec B \right). $$ Se pueden utilizar las ecuaciones de Maxwell del término fuente $$ \begin{align*} \vec\nabla\cdot\vec E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} & \vec\nabla\times\vec B - {\epsilon_0\mu_0}\frac{\partial\vec E}{\partial t} = {\mu_0 \vec J} \end{align*} $$ para eliminar las distribuciones de carga y corriente y escribir esta densidad de fuerza $\vec f$ únicamente en cuanto a los campos. Hay que hacerlo, pero al final se consigue $$ \vec f = \vec\nabla\cdot\mathbf{T} - \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \vec S}{\partial t} $$ donde $\vec S$ es el vector de Poynting y $\mathbf T$ es el tensor de tensiones de Maxwell. Esto muestra que puede tener momento entrando y saliendo del campos en una región del espacio, incluso cuando no hay masa alrededor para acelerar.

Answer 4

Sólo un poco de adición:

2ª de Newton Ley es F = ma = m dv/dt

Esto es correcto para masa constante y en contexto no relativista .

Sin embargo, como la masa se puede suponer constante en la formulación original de Newton es equivalente a:

F = dp/dt

Y esta forma es correcto tanto para masa variable Y en un contexto relativista (por supuesto, con las interpretaciones adecuadas)