¿Por qué las secuencias de Fibonacci-Jacobsthal se desvían hacia valores positivos y negativos en el plano complejo?

Question

Los números de Fibonacci expresión de forma cerrada es la siguiente:

$$F_n = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

donde $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es el proporción áurea .

Quería revisar lo que sucede cuando en lugar de $\sqrt{5}$ se utiliza otra raíz, en una especie de generalización de los números de Fibonacci por lo que he definido la siguiente expresión genérica ( $E1$ ):

$$F_n = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{r}}$$

donde $\varphi = \frac{1+\sqrt{r}}{2}$ es un "equivalente de la proporción áurea" manipulado.

Entonces, ¿qué sucede cuando utilizamos en lugar de $\sqrt{5}$ otra raíz positiva, $\sqrt{r}$ ? Básicamente la observación es que cuando $r = 1+4k, k \in \Bbb N$ (incluyendo $k=0$ ), los elementos de las secuencias de Fibonacci son siempre enteros siguiendo la definición.

$$F_n = F_{n-2} \cdot k + F_{n-1}$$

siendo los elementos de partida $F_0 = 0, F_1=1$

Si $r \not =1+4k$ por ejemplo $r=6$ , entonces cuando se utiliza $\sqrt{6}$ en la expresión ( $E1$ ) los elementos de la secuencia de Fibonacci no son enteros.

Cuando $k=0$ la secuencia de Fibonacci es $\{0,1,1,1,1,1...\}$ . Siempre $1$ excepto $F_0=0$ .

Cuando $k=1$ así que $r=1+4 \cdot 1=5$ , entonces estamos usando $\sqrt{5}$ , proporcionando la clásica secuencia de Fibonacci $\{0,1,1,2,3,5...\}$ .:

$$F_n = F_{n-2} \cdot (k) + F_{n-1} = F_{n-2} \cdot (1) + F_{n-1} = F_{n-2} + F_{n-1}$$

Cuando $k=2$ Para mi sorpresa, obtenemos el Secuencia de Jacobsthal :

$$F_n = F_{n-2} \cdot (k) + F_{n-1} = F_{n-2} \cdot 2 + F_{n-1}$$

Así que parece que la manipulación de la raíz en la expresión ( $E1$ ) proporciona una generalización de la secuencia de Jacobsthal de la siguiente manera:

$$F_n = F_{n-2} \cdot (k) + F_{n-1}$$

El punto interesante (y las preguntas del final están relacionadas con esto) es:

¿Qué ocurre si en lugar de utilizar raíces positivas para obtener las secuencias genéricas de Fibonacci-Jacobsthal, utilizamos raíces negativas?

Al definir la expresión de $r$ de la siguiente manera:

$$r = 1-4k, k>0 \in \Bbb N$$

El resultado es bastante interesante. La expresión ( $E1$ ) se convierte en esto:

$$F_n = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{(\sqrt{\mid r \mid})i}$$

Donde $\varphi = \frac{1+(\sqrt{\mid r \mid})i}{2}$ es el equivalente de la proporción áurea para el plano complejo.

La observación en este caso es que $F_n$ se desvía en valores positivos y negativos (así, $\Bbb Z$ ), por lo que las secuencias de Fibonacci-Jacobsthal no son secuencias positivas crecientes puras cuando la raíz aplicada a ( $E1$ ) es negativo, pero desviando las secuencias que contienen números positivos y negativos.

La siguiente imagen muestra tanto el comportamiento de las raíces positivas (Fibonnaci-Jacobsthal clásico) como el de las raíces negativas aplicadas en ( $E1$ ) como se ha explicado anteriormente. El gráfico representa en el positivo $x$ eje las secuencias de Fibonacci generadas para un positivo $\sqrt{x}$ raíz, mostrando la primera $100$ elementos de cada secuencia en el $y$ eje.

Por ejemplo, en $x=0.5$ , lo que se muestra $y$ puntos son los primeros $100$ elementos de la secuencia de Fibonacci obtenidos para $\sqrt{0.5}$ aplicado a ( $E1$ ). Como puede ver $x=1$ es un caso especial porque para ese caso $\forall n \gt 1 \in \Bbb N, F_n=1$ , excepto $F_0=0$ . Esa es la razón por la que todos los puntos parecen "converger" a $x=1, y=1$ . La secuencia clásica de Fibonacci se encuentra en $x=5$ que es el uso de la raíz $\sqrt{5}$ en ( $E1$ ). Está fuera de la escala del gráfico en el lado derecho en el positivo $x$ eje.

Pero en cambio, cuando utilizamos raíces negativas ( $x \lt 0$ ), por lo que utilizamos $\sqrt{x} = \sqrt{\mid x \mid \cdot (-1)} = (\sqrt{\mid x \mid }) \cdot \sqrt{(-1)} =(\sqrt{ \mid x \mid })i$ aplicado a ( $E1$ ), entonces las secuencias de Fibonacci-Jacobsthal obtenidas se desvían en valores positivos y negativos. En el gráfico, las $x$ valores bajo $x \lt 0$ representan las raíces negativas $(\sqrt{\mid x \mid })i$ aplicado en ( $E1$ ) y el $y$ son las secuencias de Fibonacci obtenidas para cada valor de $x$ . Se puede ver que las secuencias no son estrictamente positivas crecientes: tienen términos negativos y positivos (complejos).

Hay un valor muy interesante en el plano complejo, cuando $k=1, r = 1-4k = -3$ Esto se representa en el gráfico de $x=-3$ que muestra el uso de la raíz $(\sqrt{\mid -3 \mid })i$ en ( $E1$ ). Como puede verse, de nuevo las secuencias parecen "converger", pero en este caso en tres puntos: $y=1$ , $y=0$ y $y=-1$ . Las secuencias asociadas a los valores $x \lt -3$ comienzan a crecer rápidamente, por lo que la escala no nos deja ver una visión completa de la evolución de las secuencias. Abajo hay un gráfico que muestra lo que ocurre después de $x=-3$ en un breve intervalo:

Este es el código de Python para hacer los gráficos, por favor utilícelo libremente como desee:

def fcgrm():
    from math import sqrt
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib as mpl
    from numpy import real, imag, arange, float

    # Plotting setup
    arraydim = 4000000
    xrange = arange(arraydim,dtype=float)       
    yrange = arange(arraydim,dtype=float)       
    ax = plt.gca()
    ax.set_axis_bgcolor((0, 0, 0))
    figure = plt.gcf()
    figure.set_size_inches(18, 16)

    complexi = 0+1j
    test_limit = 100
    pos=0

    for SQRTSEL in range(-30000,-0):
        if SQRTSEL == 0:
            continue
        if SQRTSEL<0:
            GRM = (1+((sqrt((SQRTSEL*(-1))/10000))*complexi))/2
        else:
            GRM = (1+(sqrt(SQRTSEL/10000)))/2

        for n in range(0,test_limit):
            if SQRTSEL<0:
                new_i_val = (((GRM)**n)-((1-GRM)**n))/sqrt((SQRTSEL*(-1))/10000)
            else:
                new_i_val = (((GRM)**n)-((1-GRM)**n))/sqrt(SQRTSEL/10000)

            varx = new_i_val.real
            vary = new_i_val.imag

            if SQRTSEL<0:
                varx = SQRTSEL/10000
                xrange[pos]=varx
                yrange[pos]=vary
            else:
                vary = SQRTSEL/10000
                xrange[pos]=vary
                yrange[pos]=varx

            pos = pos + 1

            if pos==arraydim:
                newxrange = arange(pos,dtype=float)     
                newyrange = arange(pos,dtype=float)     
                for i in range(0,pos):
                    newxrange[i]=xrange[i]
                    newyrange[i]=yrange[i]
                plt.plot(newxrange,newyrange,"w,")
                pos=0           

    newxrange = arange(pos,dtype=float)
    newyrange = arange(pos,dtype=float)     
    for i in range(0,pos):
        newxrange[i]=xrange[i]
        newyrange[i]=yrange[i]
    plt.plot(newxrange,newyrange,"w,")
    xrange = arange(arraydim)       
    yrange = arange(arraydim)

    pos=0   
    order = 1           

    plt.show()

fcgrm()

Me gustaría hacer las siguientes preguntas:

1. ¿Son correctos mis cálculos sobre el comportamiento de ( $E1$ ) o me he perdido algo?

2. ¿Por qué las secuencias se desvían hacia valores positivos y negativos? Heurísticamente puedo entender que realmente ocurra, pero no la razón. La serie de Fibonacci según las manipulaciones de ( $E1$ ) se desvían en valores positivos y negativos. Pero, ¿cuál es el mecanismo que hace que esto ocurra en el plano complejo? ¿Se debe a la división compleja aplicada en ( $E1$ )?

3. Creo que el equivalente a lo que ocurre en el plano real en $x=1$ ocurre en el plano complejo en $x=-3$ . Si vemos el gráfico de las secuencias de Fibonacci como un todo, como en el primer gráfico mostrado arriba, tienen un comportamiento "en espejo", lo que significa que las secuencias parecen "converger" a algunos puntos específicos del positivo y del negativo $x$ eje, y luego las secuencias comienzan a crecer rápidamente después de ese punto cuando $x \to -\infty$ y $x \to \infty$ respectivamente, y parece que hay continuidad entre los elementos de cada secuencia, excepto en $x=0$ donde $E1 \to \infty$ . ¿Son los puntos $(1,1)$ , $(-3,-1)$ , $(-3,0)$ y $(-3,1)$ ¿algún tipo de atractor? Gracias.

Answer 1

Parece que está resolviendo la recurrencia

$$T_{n+2}=T_{n+1}+\frac{r-1}4T_n$$ con las condiciones iniciales $T_0=0,T_1=1$ .

En efecto, el polinomio característico

$$t^2-t-\frac{r-1}4$$ tiene las raíces $$\frac{1\pm{\sqrt r}}2.$$

Por el teorema del binomio, el término general puede expresarse como $$T_n=\frac{\left(\frac{1+\sqrt r}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt r}2\right)^n}{\sqrt r}=\frac1{2^n}\sum_{\text{odd } k}\binom n{k}r^{(k-1)/2}.$$

Obviamente, cualquiera que sea el valor de $r$ de la recurrencia el $T_n$ son reales.

Para los positivos $r$ las raíces son reales y se obtiene la suma de dos exponenciales. Para los negativos $r$ se obtiene la suma de dos exponenciales complejas, es decir, sinusoides amortiguadas.

La secuencia es estable (no diverge al infinito) mientras el módulo de las raíces se mantenga bajo $1$ . Para las raíces reales, tenemos $0<r<1$ y para las raíces complejas, $-3<r<0$ . Los casos límite merecen un tratamiento especial.

Para $r=0$ La fórmula del término general ya no es válida. Esto se debe a que la raíz es doble. La solución de la recurrencia es

$$T_n=n2^{1-n}.$$

Para $r=1$ la solución es trivialmente la constante $1$ .

Para $r=-3$ la solución se puede escribir

$$T_n=\frac2{\sqrt 3}\sin\frac{n\pi}3.$$ Es puramente oscilante.

---

La razón por la que aparecen términos imaginarios es fácil: para algunos valores de los coeficientes, la solución de una recurrencia lineal puede ser oscilante (basta pensar en la recurrencia $T_{n+1}=-T_n$ ). Al mismo tiempo, la solución es una suma de exponenciales. Pero las exponenciales de números reales no pueden generar un comportamiento oscilatorio. Por lo tanto, deben aparecer exponenciales complejas. De todos modos, como la ecuación es puramente real, los términos imaginarios deben anularse entre sí.

Se puede demostrar que la solución general de una recurrencia de segundo orden con raíces complejas es de la forma

$$T_n=(a\cos n\theta+b\sin n\theta)\rho^n.$$

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Es agradable observar los exponenciales complejos en función de $n$ en el plano complejo $(x,y)$ . Verás que aparecen bonitas espirales logarítmicas.

Answer 2

Si entiendo bien la tercera pregunta, lo siguiente debería ayudar.

Para $r=1-4k,k\gt 0\in\mathbb N$ , $$\begin{align}F_n&=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{|r|}\ i}\\&=\frac{1}{\sqrt{|r|}\ i}\left(\left(\frac{1+\sqrt{|r|}\ i}{2}\right)^n-\left(1-\frac{1+\sqrt{|r|}\ i}{2}\right)^n\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{|r|}\ i}\left(\left(\frac{1+\sqrt{|r|}\ i}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{|r|}\ i}{2}\right)^n\right)\end{align}$$ Ahora dejemos que $\omega=(1+\sqrt 3\ i)/2$ .

Desde $\omega^3={\overline\omega}^3=-1$ , si $k=1,r=-3$ entonces $$F_n=\frac{1}{\sqrt{3}\ i}\left(\omega^n-{\overline{\omega}}^n\right)= \begin{cases} 0 & \text{if $n\equiv 0\pmod 3$} \\ 1 & \text{if $n\equiv 1,2\pmod 6$}\\ -1 & \text{if $n\equiv 4,5\pmod 6$} \end{cases}$$