Posible error en una prueba en la Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico de Jost.

Question

Estoy leyendo la sexta edición de Riemannian Geometry and Geometric Analysis de Jost. Sospecho que hay un error en una demostración. Primero definamos lo siguiente:

Sea $M$ una variedad Riemanniana compacta, conectada y orientada. Definimos un producto interno en el conjunto de formas $p$-formas en $M$ por $$(\alpha,\beta):=\int_M\alpha\wedge\star\beta,$$ donde $\star$ es el operador estrella de Hodge.

En el libro, página 116, se encuentra la siguiente afirmación:

Corolario 3.4.1. Existe una constante $c$, que depende únicamente de la métrica Riemanniana de $M$, con la propiedad de que para todas las formas cerradas $\beta$ que son ortogonales al núcleo de $d^*$, $$(\beta,\beta)\le c(d^*\beta,d^*\beta).$$

Nótese que $d^*=(-1)^{n(p+1)+1}\star d\star$ al actuar sobre una $p$-forma, donde $n$ es la dimensión de $M$.

Más adelante, en la página 118, al intentar probar que el funcional lineal $\ell:d^*(\Omega^p(M))\to\Bbb R$,$\ell(d^*\varphi)=(\eta,\varphi)$ está acotado para cierto $\eta$, se presenta la siguiente construcción:

Para $\varphi\in\Omega^p(M)$, sea $\pi(\varphi)$ la proyección ortogonal sobre el núcleo de $d^*$, y $\psi:=\varphi-\pi(\varphi)$; en particular $d^*\varphi=d^*\psi$.

Dado que $\psi$ es ortogonal al núcleo de $d^*$, por el Corolario 3.4.1, $\lVert \psi\rVert_{L^2}\le c\lVert d^*\psi\rVert_{L^2}=c\lVert d^*\varphi\rVert_{L^2}$.

No estoy seguro de si el uso del Corolario 3.4.1 para deducir la última desigualdad es correcto, porque no sé si $\psi$ es cerrada. ¿Podemos demostrar que $\psi$ es realmente cerrada? De no ser así, ¿cómo podemos corregir la demostración?

Edición: nótese que la demostración en el libro es anterior al teorema de la descomposición de Hodge, por lo que no puedo usar este teorema.

Answer 1

Debes conocer las siguientes propiedades elementales del codiferencial $d^*$:

1. la relación adjunta $(d \psi, \omega) = (\psi, d^* \omega)$, a menudo tomada como la definición de $d^*$; y
2. el hecho $d^* \circ d^* = 0,$ que se deduce de $d \circ d = 0$.

Para mostrar que $d \psi = 0$ basta con demostrar que $(d \psi, \omega) = 0$ para una 2-forma arbitraria $\omega$. A partir del primer hecho anterior sabemos que $(d \psi, \omega) = (\psi, d^* \omega).$ El segundo hecho nos dice que $d^* (d^* \omega) = 0$, por lo que $d^* \omega$ está en el núcleo de $d^*$ y así $(\psi, d^* \omega) = 0$ ya que se nos dio $\psi \perp \ker d^*$.

Answer 2

El hecho de que $\psi$ sea cerrado (y de hecho exacto) se sigue en una variedad compacta de la descomposición de Hodge.

Esto establece que cualquier forma se descompone ortogonalmente en una forma exacta, una forma co-exacta y una forma armónica. En otras palabras, podemos escribir $$\psi = d\alpha + d^*\beta + \gamma$$ para $\gamma$ armónica.

En una variedad compacta, las formas armónicas son a la vez cerradas y co-cerradas. Por lo tanto, si $\psi$ es ortogonal a las formas co-cerradas, se deduce que $\psi = d\alpha$, lo que significa que $\psi$ es exacto.

Esto puede ser un poco excesivo, sin embargo.