Que $f$ es un isomorfismo de orden $\mathscr{P}A \rightarrow \mathscr{P}B$ (donde $A$ y $B$ son algunos conjuntos, el orden es el conjunto de inserción $\subseteq$).
¿Es cierto que siempre existe una biyección $F: A \rightarrow B$ tal que $f(X) = F[X]$ cada $X\in \mathscr{P}A$?
Esto es básicamente la misma respuesta como Asaf, pero desde que he añadido un poco más de detalles, supongo que no hay mucho daño en la publicación. (Yo no quiero tirarlo a la basura, cuando el post ya estaba preparado.)
Si $f$ es el fin de isomorfismo, entonces debe mapa de los átomos de un conjunto ordenado de los átomos de la otra.
En este caso se supone que son los únicos mapas únicos, es decir, $f(\{x\})$ es un singleton para cada $x\in A$. Por lo tanto la única posibilidad para la función de $F$ es $$F(x)=y \Leftrightarrow f(\{x\})=\{y\}.$$
Desde $\mathcal P(X)$ es atómico de celosía, cada elemento de la $\mathcal P(X)$ está determinada únicamente por átomos que están debajo de él. Esto demuestra que las imágenes de los embarazos únicos únicamente determinan un orden, un isomorfismo. (Y así cada fin de isomorfismo es, de hecho, de esta forma).
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