Demostrar que $ax = \cos(\pi\cdot x)$ tiene exactamente una solución

Question

Demostrar que $ax = \cos(\pi\cdot x)$ tiene exactamente una solución cuando $0 \le x \le 1$ . a es cualquier número real positivo.

Puedo resolver bien esta cuestión dibujando $\cos(\pi\cdot x)$ pero se considera informal. Necesito ayuda en una prueba escrita.

Answer 1

Sugerencia: en el intervalo $[0,1]$ la función $x\mapsto ax$ aumenta de $0$ a $a$ y la función $x\mapsto\cos(\pi x)$ está disminuyendo de $1$ a $-1$ .

Comprobación de validez: se debe poder demostrar que la solución única en $[0,1]$ está en $(0,1/2)$ y que cada punto de este intervalo puede convertirse en solución para un valor adecuado del parámetro de la pendiente $a$ .

Answer 2

Un boceto es totalmente persuasivo. Sin embargo, el problema pretende poner a prueba tu control sobre ciertas herramientas. Así que es difícil dar una respuesta adecuada si no se conoce el contexto en el que se plantea el problema. Asumiré que este contexto es un curso de cálculo algo teórico.

Utilizaremos un truco estándar. Cuando nos interesa el relación entre dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ A menudo es útil examinar el comportamiento de sus diferencia es decir, estudiar $f(x)$ , donde $f(x)=g(x)-h(x)$ .

Dejemos que $f(x)=ax-\cos x$ . Queremos demostrar que $f(x)=0$ para exactamente un valor de $x$ entre $0$ y $\pi$ .

Tenga en cuenta que $f(0)=-1$ y $f(\pi)=a\pi +1$ . Así, $f(0)$ es negativo, y (ya que $a$ es positivo), $f(\pi)$ es positivo. Como $f$ es continua en nuestro intervalo, se deduce por la Teorema del valor intermedio que $f(c)=0$ para algunos $c$ entre $0$ y $\pi$ . (De hecho, como $x$ se extiende a lo largo de nuestro intervalo, $f(x)$ toma todos los valores entre $-1$ y $a\pi+1$ .)

Tenga en cuenta que no hemos probado que $f$ es continua en nuestro intervalo, acabamos de afirmarlo. Y por supuesto dimos por sentado que $\cos(0)=1$ y $\cos(\pi)=-1$ . En el contexto de este problema, es casi seguro que no se espera que demuestres la continuidad. Pero afirmando es importante, ya que demuestra que usted sabe que se necesitan ciertas condiciones en $f$ para poder utilizar el Teorema del Valor Intermedio.

Por último, demostramos que no puede haber más que un valor de $x$ en nuestro intervalo tal que $f(x)=0$ . Aquí se espera que se utilice la derivada.

Tenga en cuenta que $f'(x)=a+\sin x$ . Entre $0$ y $\pi$ , $\sin x \ge 0$ Así pues, entre $0$ y $\pi$ , $f'(x)>0$ . De ello se desprende que $f$ es un aumentando en nuestro intervalo. Así que en nuestro intervalo, $f(x)$ puede ser $0$ como máximo para un valor de $x$ .

Hemos demostrado que $f(x)=0$ para al menos un $x$ en nuestro intervalo, y también para como máximo un $x$ Así que $f(x)=0$ para exactamente un valor de $x$ en nuestro intervalo.

Answer 3

Esto puede hacerse demostrando que $cos(\pi x)$ es estrictamente decreciente en $(0,1)$ es decir $\frac{d}{dx}\cos(\pi x) < 0$ , como si $\cos(\pi a) = \cos(\pi b)$ para $a < b$ entonces por el teorema del valor medio tenemos $\frac{d}{dx}\cos(\pi c) = 0$ para algunos $a < c < b$ . $\frac{d}{dx}\cos(\pi x) = -\sin(\pi x)$ que puede demostrar que es menor que $0$ en $(0,1)$ interpretando $\sin(\pi x)$ como la relación entre el lado opuesto de un triángulo y la hipotenusa.