$|G| \geq4 |Z(G)|$

Question

Que $(G, \times)$ ser un grupo abelian no finito y que $Z(G)$ centro.

Me gustaría demostrar que: $| G | \geq 4 | Z(G) |$

No tengo la intuición de este resultado y no sé cómo demostrar este resultado pero tal vez debo usar las siguientes propiedades:

1. $Z(G)$ es un grupo
2. $| Z(G) |\mid |G|$
3. Tabla de Cayley

Answer 1

El hecho de que $Z(G)$ es un grupo y, por tanto, $|Z(G)|$ divide $|G|$ (de Lagrange) consigue a mitad de camino: $|Z(G)|$ no puede ser igual a $|G|$ desde $G$ no es Abelian por lo que debe ser en más de la mitad de $|G|$.

Para obtener el otro factor de dos, usamos el hecho de que $Z(G)$ es normal en $G$, por lo que su cociente grupo está bien definido. A continuación, podemos ser más refinado en nuestro uso de Lagrange del teorema.

El orden de $G / Z(G)$$\frac{|G|}{|Z(G)|}$, por lo que si $|G| < 4|Z(G)|$ luego de Lagrange del teorema muestra este cociente grupo ha $1,2$ o $3$ elementos. El primer caso contradice la suposición de que $G$ no es Abelian. El segundo de los dos casos, siendo el primer órdenes, implica que $G / Z(G)$ es cíclico.

Pero si ese es el caso, entonces hay algo de $g \in G$ tal que $gZ(G)$ genera $G / Z(G)$. Ahora escoge una arbitraria $x \in G$. Desde el cosets de $Z(G)$ partición $G$, nos encontramos con $x$ $g^k Z(G)$ algunos $k \in \mathbb{N}$. Por supuesto, se sigue que $x$ sí está en el centro de la $G$.