Ampliación de la serie de $\frac{x^n-1}{x-1}$ en $ x=1$ .

Question

$$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)=n$$

Pensé que en $x=1$ la expansión es:

$$n+n(n-1)(x-1)+n(n-1)(n-2)(x-1)^2+...$$

pero la respuesta es:

$$n+\frac{1}{2}n(n-1)(x-1)+\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)(x-1)^2+...$$

¿Puede explicar el origen de $$\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{24}, ...?$$

Answer 1

sugerencia

Dejemos que $f (x)=\frac {x^n-1}{x-1}$ .

ampliamos $f (x+1) $ cerca de cero como

$$f (x+1)=((x+1)^n-1)/x=$$

$$(1+nx+\frac {n (n-1)}{2!}x^2+\frac{n (n-1)(n-2)}{3!}x^3+...-1)/x $$

$$=n+\frac {n (n-1)}{2!}x+.... $$

para conseguir la expansión en torno a $x=1$ , reemplazar $x $ por $x-1$ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ para $x\ne 1$ . $\lim_{x->1}f(x)=n$ .

Answer 3

Por la fórmula del binomio tenemos $$x^n =((x-1)+1)^n = \sum_{j=0}^{n}{n\choose j}(x-1)^j=1+(x-1) \sum_{j=1}^{n}{n\choose j}(x-1)^{j-1}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align}\frac{x^n-1}{x-1} &= \sum_{j=1}^{n}{n\choose j}(x-1)^{j-1} \\&= {n\choose 1}+{n\choose 2}(x-1)^{1}+{n\choose 3}(x-1)^{2} +{n\choose 4}(x-1)^{3}+\cdots \\&= n +\color{blue}{\frac{n(n-1)}{2}}(x-1)^{1}+\color{blue}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}(x-1)^{2} +\color{blue}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}(x-1)^{3}+\cdots \end{align}$$