Anillo noetheriano no de Z [X]

Question

Deje $\mathbb Z[X]$ ser el anillo de polinomios en una variable. Es un hecho bien conocido de que es un Noetherian anillo (debido a $\mathbb Z$ es un PID y por lo tanto Noetherian y si $R$ es Noetherian lo es $R[X]$). Mi tarea es encontrar un sub-anillo $R \subset \mathbb Z[X]$ con la unidad que no Noetherian.

Ya he probado el subrings como $\mathbb Z[X^2]$ o $\mathbb Z[X^2, X^3]$, pero desafortunadamente no son todos Noetherian. Tal vez todos subrings son Noetherian? Si este es el caso, entonces ¿cómo demostrarlo? Si no, entonces ¿cuál sería el contraejemplo?

Answer 1

El anillo $$R=\mathbb Z[2,2X,2X^2,2X^3,\dots]\subset \mathbb Z[X]$$ is not noetherian because its ideal $\langle 2, 2 X, 2 X ^ 2, 2 X ^ 3, \dots \rangle$ no finitamente generado.