Dar una base para el espacio de la columna de la A

Question

<blockquote> <p>Que $A = \begin{bmatrix}3&3&3\\3&5&1\\-2&4&-8\\-2&-4&0\\4&9&-1\end{bmatrix}$</p> <p>Dar una base para el espacio de la columna de la A</p> </blockquote> <p>Así que lo que he hecho hasta ahora es ponerlo en RREF (que era una tarea de sí mismo) y</p> <p>$\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, pero no estoy seguro de que hacer al lado de dar la "base" del espacio columna de la A</p>

Answer 1

Las columnas correspondientes a los pivotes de la matriz original será una base para el espacio de la columna.

Answer 2

La columna de espacio es el espacio de los vectores columna de a $A$, La matriz original. Como lo tengo ... gracias comentado, la reducción de la fila no conserva la columna de espacio. De modo que la columna espacio es:

$\mathrm{span}\bigg(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \\ -4 \\ 9 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -8 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\bigg)$.

Para encontrar una base para el espacio columna de a, tenemos que reducir la lista a un linealmente independientes de la lista, si no está ya.

De hecho, se puede demostrar que estos tres vectores no son linealmente independientes. En particular, el tercero puede ser escrito como una combinación lineal de las dos primeras.

Desde los dos primeros son linealmente independientes (lo que usted debe comprobar), podemos escribir $\bigg(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \\ -4 \\ 9 \end{bmatrix}\bigg)$ como una base para el espacio columna de.

Answer 3

<blockquote> <p><strong>Hecho.</strong> Que $A$ ser una matriz. Las filas no cero de $\DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref(A^\top)$ forman una base del espacio columna de $A$.</p> </blockquote> <p>En nuestro caso tenemos $$ A = \left[\begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ -2 & 4 & -8 \\ -2 & -4 & 0 \\ 4 & 9 & -1 \end{array}\right] $$ % de reducción de la fila $A^\top$da \rref(A^\top) $$ = \left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -\frac{11}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{7}{6} \\ 0 & 1 & 3 & -1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ lo anterior implica que\begin{align*} \langle1, 0, -{11}/{3}, {1}/{3}, -{7}/{6} \rangle && \langle0,1, 3, -1, 5/2 \rangle \end{align*} forma una base del espacio columna de $A$.</p>

Answer 4

El uso de fila operaciones conserva la fila de espacio, pero destruye la columna de espacio. En lugar de eso, lo que quiero hacer es usar la columna de operaciones para colocar la matriz en la columna reducido de forma escalonada. La matriz resultante tendrá la misma columna de espacio, y el cero de columnas de base.

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Quizás es demasiado fuerte como para decir que la fila de las operaciones de destruir la columna espacio — lugar que puede ser pensado como la realización de un cambio de coordenadas. Es por eso que el método de las otras respuestas: en las nuevas coordenadas, es fácil encontrar a un máximo linealmente independientes de un conjunto de columnas, es decir, una base. Y tal cosa es una base, no importa lo coordinar la representación de utilizar, por lo que el correspondiente a las columnas de la matriz original de formulario de una base en las coordenadas originales.