jajaja de solución de la ecuación es $[x]^2+a[x]+b = 0$

Question

Si $a$ y $b$ son enteros impares. Luego el no. de solución de la ecuación es $[x]^2+a[x]+b = 0$

donde $[x] = $ función de entero mayor

Mi intento:: Que $[x] = y$. Entonces la ecuación se convierten en $y^2+ay+b = 0$

Ahora bien, si la dada ecuación tiene raíces reales, entonces el $\displaystyle y = \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$

Ahora $a^2-4b = k^2\Leftrightarrow a^2-k^2=4b^2$. donde $k\in \mathbb{Z}$

Ahora cómo puedo yo solucionar después de eso.

Ayudar a la necesaria

Gracias

Answer 1

Observe que $-a$ es la suma y $b$ es el producto de las raíces. Si las raíces son enteros, la suma es impar que sólo si tienen diferente paridad, su producto es impar sólo si ambos son impares. Por lo tanto no hay solución.

Answer 2

ecuación tiene solución $\iff$ $y\in \mathbb Z \iff \displaystyle \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\in \mathbb Z \iff -a\pm \sqrt{a^2-4b}=2k :k\in \mathbb Z $ $$\iff (a+2k)^2=a^2 - 4b\iff a^2-(a+2k)^2=4b \iff $$ $$ (-2k)(2a+2k)=4b\iff k(a+k)=b$ $if $k=2m$ y $a$ ser impar entonces $b $ es aun y si $k=2m+1$y $a$ ser impar entonces $b$ incluso. Del mismo modo, tenemos para $b$. Finalmente concluimos que la ecuación tiene solución cuando $a$ $b$ sea impar.

Answer 3

Si $y := \lfloor x \rfloor$ es par, es $y^2$ $ay$ incluso, $b$ es extraño, es por lo tanto es impar, $y^2 + ay + b$ % que $y^2 + ay+b \ne 0$. Si por el contrario, $y$ es impar, $y^2$ $ay$ son impares también, como es $b$, $y^2 + ay+ b$ es extraño otra vez. Por lo tanto, $y^2 + ay + b$ es un entero impar cada entero $y$. Así que la ecuación no tiene ninguna solución.