Legendre transforma Lagrangianos no locales o hamiltoniano de Lagrange no locales y sus propiedades

Question

Esta es una especie de multi-pregunta, tratando principalmente con la forma de tratar a los no-local Hamiltonianos y cómo las propiedades correspondientes de Hamiltonianos trabaje en un marco local. He propuesto un ejemplo para hacer la explicación más fácil, pero generalizada respuestas son útiles también.

Para empezar:

¿Cómo aplicar la transformación de Legendre a un no-local de Lagrange, o de obtener el Hamiltoniano de un Lagrangiano?

Por ejemplo, dada la funcional: $$ F=\frac{1}{2}\int^t_0 \left(\dot{x}(\tau)\dot{x}(t-\tau)-x(\tau)x(t-\tau)\right)\,\text{d}\tau $$ Que, cuando varió con respecto al estado, es estacionaria para el sistema: $$ \ddot{x}(\tau)-x(\tau)=0 $$ Tomando la derivada con respecto al $\dot{x}$ $F$ rendimientos: $$ \frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=\frac{1}{2}\int^t_0 \dot{x}(\tau)\,\text{d}\tau+\frac{1}{2}\int^t_0 \dot{x}(t-\tau)\,\text{d}\tau=\int^t_0 \dot{x}(\tau)\,\text{d}\tau $$ Sería cierto que?: $$ \frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=\int^t_0 p(\tau)\,\text{d}\tau $$ Así que podemos decir: $$ \int^t_0 \mathcal{H}\,\text{d}\tau=\int^t_0 p(\tau)p(t-\tau)\,\text{d}\tau\a la izquierda.F\right|_{\dot{x}=p} $$ Lo que da: $$ \int^t_0 \mathcal{H}\,\text{d}\tau=\frac{1}{2}\int^t_0 p(\tau)p(t-\tau)+x(\tau)x(t-\tau)\,\text{d}\tau $$ Así que podemos decir?: $$ \mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(p(\tau)p(t-\tau)+x(\tau)x(t-\tau)\right) $$ Además: $$ \frac{\text{d}\mathcal{H}}{\text{d}\tau}=\frac{1}{2}\left(\dot{p}(\tau)p(t-\tau)-p(\tau)\dot{p}(t-\tau)+\dot{x}(\tau)x(t-\tau)-\dot{x}(t-\tau)x(\tau)\right) $$ Sería correcto sustituir?: $$ \dot{p}(\tau)=x(\tau) $$ $$ \dot{p}(t-\tau)=x(t-\tau) $$ $$ \dot{x}(\tau)=p(\tau) $$ $$ \dot{x}(t-\tau)=p(t-\tau) $$ Lo que da: $$ \frac{\text{d}\mathcal{H}}{\text{d}\tau}=\frac{1}{2}\left(u(\tau)p(t-\tau)-p(\tau)u(t-\tau)+p(\tau)x(t-\tau)-p(t-\tau)x(\tau)\right) $$ La integración de ambos lados (y hacer algo de la integración de sustituciones), entonces se obtiene: $$ \int^t_0 \frac{\text{d}\mathcal{H}}{\text{d}\tau} = 0 $$ ¿Esto implica que $\mathcal{H}$ es constante?

Por último, para volver a las ecuaciones de movimiento de $\mathcal{H}$, tenemos: De: $$ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p}=\dot{x} $$ y $$ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x}=-\dot{p} $$ Tenemos $$ \frac{\partial}{\partial p}\int^t_0 \mathcal{H}\,\text{d}\tau = \int^t_0 \dot{x}(\tau)\,\text{d}\tau $$ O $$ \int^t_0 \dot{x}(\tau)\,\text{d}\tau=\int^t_0 p(\tau)\,\text{d}\tau $$ y $$ \frac{\partial}{\partial x}\int^t_0 \mathcal{H}\,\text{d}\tau = \int^t_0 \dot{p}(\tau)\,\text{d}\tau $$ O $$ \int^t_0 \dot{p}(\tau)\,\text{d}\tau=-\int^t_0 x(\tau)\,\text{d}\tau $$ Esto no coincide con el inicial de las ecuaciones de movimiento, es que debido a la no-local de la naturaleza de la formulación? Podríamos decir, entonces, que?:

$$ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p}=\dot{x} $$ y $$ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x}=\dot{p} $$

Answer 1

Vamos a considerar aquí el punto de la mecánica (como oposición a la teoría de campo) para la simplicidad, es decir, la generalización de la teoría de campo se deja como ejercicio.

I) las Malas noticias. Si el Lagrangiano de acción funcional $S[q]$ es no-local, la definición habitual de Lagrange momenta como un parcialde derivados $$p_i~:=~\frac{\partial L}{\partial v^i} \tag{1}$$ no se aplica.

II) una Buena noticia. Si el (posiblemente no local) de Lagrange de acción funcional es de la forma $$\left. S[q,v]\right|_{v=\dot{q}}, \tag{2}$$ then we can in principle perform a Legendre transformation on the action $S[p,v]$. The Legendre transformation will depend on how we split the action $S[q,v]$ into two independent$^1$ sets of variables $q^i$ and $v^j$. Nevertheless assume that this splitting $S[p,v]$ que se ha hecho. A continuación definimos el impulso funcionales derivados

$$p_i~:=~\frac{\delta S[q,v]}{\delta v^i} .\tag{3}$$

Ahora uno puede, en principio, realizar la transformación de Legendre muy similar al método estándar descrito en, por ejemplo, este Phys.SE post, módulo del habitual advertencias acerca de una posible singular transformación de Legendre. Definir el Hamiltoniano funcional$^2$

$$\mathbb{H}[q,p]~:=~\sup_{v}\left( \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ p(t) v(t) - S[q,v] \right). \tag{4}$$

La correspondiente Hamilton nca. convertido en

$$\dot{p}^i~\aprox~ \frac{\delta \mathbb{H}}{\delta p_i},\qquad -\dot{p}_i~\aprox~ \frac{\delta \mathbb{H}}{\delta q^i}. \etiqueta{5}$$

[Aquí el $\approx$ símbolo significa la igualdad modulo nca. de movimiento.] Podemos definir un corchete de Poisson

$$\{F,G\}_{PB}~:=~\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ \frac{\delta F}{\delta q^i(t)} \frac{\delta G}{\delta p_i(t)} -(F\leftrightarrow G). \tag{6}$$

Luego de Hamilton nca. (5) puede ser escrita como

$$\dot{z}^I(t)~\approx~ \{z^I(t), \mathbb{H}\}_{PB},\tag{7}$$

donde $\{z^I\}=\{q^i;p_j\}$ es un colectivo de la notación para el espacio de fase variables.

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$^1$ Nota en particular de que una acción $S[q,v]$ con dos independientes conjuntos de variables $q^i$ $v^j$ vuela en la cara de la habitual paradigma de que el perfil de velocidad está completamente determinado por el perfil de la posición en la acción, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

$^2$ Para locales de las teorías, el Hamiltoniano funcional $$\mathbb{H}[q,p]~=~\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ H(q(t),p(t),t)\tag{8}$$ es simplemente la integral de la Hamiltoniana.