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Question

<blockquote> <p>Evaluación del %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Sea de $$\int_{0}^{\sqrt{2}-1}\frac{\ln(1+x^2)}{1+x}dx$ $\bf{My\; Try:::}$ $</p> <p>Ahora $$I(a) = \int_{0}^{\sqrt{2}-1}\frac{\ln(1+ax^2)}{1+x}dx$ $</p> <p>Así $$I'(a) = \int_{0}^{\sqrt{2}-1}\frac{x^2}{(1+ax^2)(1+x)}dx = \frac{1}{a}\int_{0}^{\sqrt{2}-1}\frac{(1+ax^2)-1}{(1+ax^2)(1+x)}dx$ $</p> <p>Así $$I'(a) = \frac{\ln 2}{2a}-\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\sqrt{2}-1}\frac{1}{(x^2+\frac{1}{a})(1+x)}dx$ $</p> <p>Ahora cómo puedo yo solucionar después de eso, ayuda necesaria, gracias</p>

Answer 1

Puesto que el número $\sqrt{2}-1$ es invariante bajo la transformación $x \mapsto \frac{1-x}{1+x}$, es natural hacer esa sustitución. Al hacerlo, nos encontramos con: $$\begin{align} I &= \int0^{\sqrt{2}-1} \frac{\ln(1+x^2)}{1+x} dx \&= \int{\sqrt{2}-1}^1 \cfrac{\ln(1+x^2)+\ln\left(\frac2{(1+x)^2}\right)}{1+x}dx \&=\frac12 I + \frac12 \int{\sqrt{2}-1}^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x} dx +\frac12 \int{\sqrt{2}-1}^1 \frac{\ln2 - 2 \ln(1+x)}{1+x} dx \&=\frac12 \int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x} dx -\frac18 \ln^2 2 \&= \frac{\ln^2 2}{4}-\frac{\pi^2}{96}.\end {Alinee el} $$

Usted puede comprobar la evaluación $$\int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x} dx =\frac34 \ln^2 2- \frac{\pi^2}{48}$ $ aquí, por ejemplo.