Análisis de la matriz de $\mathbb{C}$

Question

1 que $A \in GL_n(\mathbb{C})$. Mostrar que $\det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+ \epsilon(A)$ donde Modulas de epsilon(A) por la norma de A = 0 como A tiende a 0, para cualquier norma de matriz. Si defino J(A) = det (a) para A es de GLn (C), entonces J es diferenciable en todos estos A y, si H es en Mn (C), a continuación, J'(A)(H)=det(A)tr(AH). donde A es inverso A.

¿Nadie puede decir cómo escribir latex aquí?

Answer 1

Puede utilizar $\det(e^{M}) = \exp(\text{tr} M)$ válido para matrices diagonalizable $M$. En su caso esto implica %#% $ #%

El jacobiano de $$\det(I+\lambda A) = \exp[ \text{tr} \log (I+ \lambda A)] = \exp[ \text{tr} ( \lambda A + \mathcal{O}(\lambda^2) )] = 1 + \lambda \,\text{tr} A + \mathcal{O}(\lambda^2).$ puede obtenerse usando esto como resultado $\det (un + \lambda H) - \det(A) = \det(A) [\det (+ \lambda A ^ {-1} H) -1] = \lambda \det(A) \,\text{tr} (A ^ {-1} H) + \mathcal{O}(\lambda^2)$ $ demostrando el resultado indicado en la pregunta.