Todas formas canónicas de Jordan posible dadas el polinomio característico

Question

Me estoy dado el % polinomio característico $x^2(x^2-1)$y me pide que encuentre todos posibles formas canónicas de jordan. Lo que tengo hasta ahora es:

Posibles divisores elementales son: 1) $x,x,(x+1),(x-1)$, 2) $x,x,(x+1)(x-1)$, 3) $x^2,(x+1)(x-1)$ y 4) $x^2(x+1)(x-1)$. Por lo tanto tengo al Jordán posibles formas como:

1) = 2)\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matriz}

y

3) = 4)\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matriz}

No estoy realmente seguro si estos son correctos, así que cualquier idea sería muy apreciada!

Answer 1

Están en lo correcto. Lo que el polinomio característico $$x^2(x-1)(x+1)$$tells you is that there are at least $3$ cages, of which the cages for eigenvalues $1$ and $-1$ have size $1$. This only leaves the eigenvalue $0$, for which you have $2$ opciones:

1. Hay $2$ linealmente independiente de vectores propios para el autovalor $0$. En ese caso, su matriz ha $4$ vectores propios y puede ser diagonalized.
2. No sólo es $1$ linealmente independientes autovector de a $0$. Esto significa que la jaula para$0$$2\times 2$, y el Jordán forma es como su segunda matriz sugiere.

Por supuesto, todo esto se hace hasta permutación, lo que significa que usted puede cambiar el orden de los valores en la diagonal, y aún así obtener un Jordan en la forma.