¿Cómo resolver lineal, segunda orden Oda con el método de Frobenius con una relación de difícil repetición?

Question

La educación a distancia en cuestión es: $$4xy''+2y'+y=0$$

El desplazamiento de la potencia de serie de cada término, de manera que todos ellos son criados para la alimentación de $(n+r)$ el rendimiento de esta relación de recurrencia: $$a_{n+1}={a_n\over (n+r+1)(-2-4(n+r))}$$ with $$r=1/2, 0$$

Si conecta los valores de $n$ en esta relación de recurrencia es casi imposible encontrar un patrón para $a_n$, a menos que me estoy perdiendo algo.

Hay un camino a seguir para resolver esta ODA con el método de Frobenius el uso de esta difícil relación de recurrencia, o cualquier trucos para usar antes en el problema para evitar difícil de relaciones de recurrencia?

Answer 1

Cada $c$, $$n+c=\frac{\Gamma(n+c+1)}{\Gamma(n+c)},$$ hence the recursion you arrived at can be rewritten as $% $ $a_{n+1}=\frac{-a_n}{4(n+r+1)(n+r+\frac12)}=\frac{(-1)^n4^n\Gamma(n+r+1)\Gamma(n+r+\frac12)}{(-1)^{n+1}4^{n+1}\Gamma(n+r+2)\Gamma(n+r+\frac32)}a_n,$que inmediatamente conduce a a_n=\frac{(-1)^n}{4^n}\frac{\Gamma(r+1)\Gamma(r+\frac12)}{\Gamma(n+r+1)\Gamma(n+r+\frac12) $$} a_0.$$ A basis of the space of solutions is given by these series when $r=0$ and when $r=\frac12$, that is, one can choose $\ {y0, y {1/2} } $, with $$yr(x)\propto x^r\sum{n\geqslant0}\frac{(-1)^nx^n}{4^n\Gamma(n+r+1)\Gamma(n+r+\frac12)}.$$ Legendre duplication formula reads$$4^{n+r}\,\Gamma(n+r+\tfrac12)\Gamma(n+r+1)=\sqrt{\pi}\,\Gamma(2n+2r+1),$$ which leads to a more familiar formulation of the basis of the space of solutions, namely, $$y0(x)=\sum{n\geqslant0}\frac{(-1)^nx^n}{(2n)!},\qquad y{1/2}(x)=\sqrt{x}\sum{n\geqslant0}\frac{(-1)^nx^n}{(2n+1)!},$$ also known as $$y0(x)=\cos\sqrt{x},\qquad y{1/2}(x)=\sin\sqrt{x}.$$

Answer 2

Sugerencia: tomar $z(x) = y(x^\alpha)$ $\alpha>0$. Luego trate de escribir la ecuación diferencial en $z$ y tratar de adivinar un buen $\alpha$.