Conjunto de números reales cuya imagen bajo cualquier función continua es un conjunto nulo perfectamente mezquino

Question

Sierpinski mostró en Hypothèse du Continu que existe un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ con la cardinalidad del continuo cuya imagen bajo cualquier función continua es un conjunto nulo. (Proposición $C_3$ en la página 49. Es una consecuencia del Teorema 2 en la página 41 y - asumiendo CH - la existencia de un conjunto de Lusin).

También mostró que existe un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ con la cardinalidad del continuo cuya imagen bajo cualquier función continua es perfectamente magro. (Proposición $C_{30}$ en la página 86. Es una consecuencia del Teorema 1 en la página 85 y - asumiendo CH - la existencia de un conjunto de Sierpinski).

¿Existe un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ con la cardinalidad del continuo cuya imagen bajo cualquier función continua es un conjunto perfectamente magro nulo?

Answer 1

Estás citando incorrectamente a Sierpinski. Aunque uno puede construir un conjunto no numerable de reales que sea perfectamente mezquino y universalmente nulo solo en ZFC, la existencia de un conjunto de tamaño continuo perfectamente mezquino o universalmente nulo es independiente de ZFC.