Homeomorfismo del cuadrado al círculo unitario

Question

¿Podemos encontrar un homeomorfismo del cuadrado $Q_2$ de la longitud del lado $2$ centrado en el origen y el círculo unitario $S^1$ ?

Podemos definir fácilmente un mapa $r:Q \longrightarrow S^1$ por

$$(x,y) \mapsto \bigg(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \bigg)$$ que es una proyección radial sobre el círculo unitario, pero ¿cómo podemos definir $r^{-1}$ y demostrar que es continua?

Pensamientos

Creo que podemos definir el mapa inverso como

$$(x,y) \mapsto \bigg(\frac{x}{\sqrt2\max{x, y}} , \frac{y}{\sqrt2\max {x, y}}\bigg)$$ Al menos intuitivamente, esto se corresponde con un cuadrado, y el $\frac{1}{\sqrt2}$ término escalas apropiadas. Sin embargo, ¿cómo podemos demostrar que son mapas continuos, demostrando así que $Q_2$ y $S^1$ ¿son homeomórficos?

Se agradecería cualquier ayuda. Saludos, MM.

Answer 1

Permítanme esbozar una prueba; dejaré los detalles de esta prueba como ejercicios.

Ejercicio 1 : Demostrar que el círculo unitario $S^1$ es homeomorfo al espacio obtenido a partir del intervalo unitario $[0,1]$ identificando los puntos finales $0$ y $1$ . (Pista: el mapa exponencial $\theta\to e^{i\theta}$ puede componerse con un mapeo lineal para dar un homeomorfismo).

Dejemos que $C$ sea la imagen de una curva simple cerrada en el plano, es decir, que $C$ sea la imagen de una función continua $f:[0,1]\to \mathbb{R}^2$ tal que $f:(0,1)\to\mathbb{R}^2$ es inyectiva y $f(0)=f(1)$ .

Ejercicio 2 : Demostrar que $C$ es homeomorfo al círculo unitario $S^1$ . (Pista: demuestre que $f:[0,1]\to C$ induce una biyección continua $\tilde{f}:S^1\to C$ utilizando Ejercicio 1 y luego demostrar que $f$ es un mapeo abierto utilizando la compacidad de $S^1$ y el hecho de que el plano es Hausdorff).

Ahora necesitamos un lema elemental de la topología de conjuntos de puntos:

Ejercicio 3 : Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y sea $X=A\cup B$ donde $A$ y $B$ son subespacios cerrados de $X$ . Demostrar que si $g:A\to Y$ y $h:B\to Y$ son funciones continuas en un espacio topológico $Y$ tal que $g(x)=h(x)$ para todos $x\in A\cap B$ entonces existe una única función continua $f:X\to Y$ tal que $f(a)=g(a)$ y $f(b)=h(b)$ para todos $a\in A$ y $b\in B$ .

Por último, podemos demostrar el resultado de su pregunta:

Ejercicio 4 : Demuestra que el cuadrado unitario es la imagen de una curva simple cerrada en el plano y concluye que es homeomorfo al círculo unitario. (Pista: puedes usar Ejercicio 3 para "pegar" los mapeos continuos).

Ejercicio 5 : Dé ejemplos de imágenes de curvas cerradas simples en el plano (utilizando Ejercicio 3 ) y concluir (utilizando Ejercicio 2 ) que son homeomórficos al círculo unitario $S^1$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

No sé por qué necesitas fórmulas algebraicas. Define cada mapa $f$ para ser la proyección radial sobre la curva apropiada (desde el origen) y encontrar la continuidad por la propiedad " $\forall$ barrio $U$ de $f(x)$ $\exists$ un barrio de $x$ cuya imagen está contenida en $U$ ", lo que es fácil de comprobar a ojo.

Answer 3

Me parece que está fuera de lugar. Por ejemplo, en su segundo mapa, el punto $(1,0)$ que está en el círculo unitario, se mapea a $(\frac1{\sqrt2},0)$ que no está en la plaza.

Si yo fuera tú, escribiría los cuatro mapas diferentes para cada lado del cuadrado - creo que simplifica el proceso, especialmente porque una vez que eliminas los términos máximos, la función es más fácil de trabajar.

Answer 4

Siguiendo la línea de la respuesta de @Amitesh Datta, en lugar de probar el homeomorfismo directamente hay formas más sencillas de llegar al resultado deseado.

La siguiente técnica utiliza un resultado bastante potente (en el sentido de que una vez que lo conoces, puedes demostrar que muchas cosas son homeomórficas con bastante facilidad), pero creo que es un resultado muy útil que cualquiera que haga topología debería conocer.

Definición: Un programa abierto $n$ -es cualquier espacio topológico que es homeomorfo a la bola unitaria abierta $\mathbb{B}^n$ . A cerrado $n$ -es cualquier espacio topológico homeomorfo a $\overline{\mathbb{B}^n}$

Este es el resultado de alta potencia que he mencionado antes.

Teorema: Si $D \subseteq \mathbb{R}^n$ es un subconjunto convexo compacto con interior no vacío, entonces $D$ es un lugar cerrado $n$ -y su interior es un espacio abierto. $n$ -Célula. De hecho, dado cualquier punto $p \in \operatorname{Int}(D)$ existe un homeomorfismo $F: \overline{\mathbb{B}^n} \to D$ que envía $0$ a $p$ , $\mathbb{B}^n$ a $\operatorname{Int}(D)$ y $\mathbb{S}^{n-1}$ a $\operatorname{Bd} D$ .

Ahora bien, si dejamos que $A \subseteq \mathbb{R}^2$ sea el cuadrado (sólido) de lado $2$ entonces $A$ se ve fácilmente que es un subconjunto convexo, y por lo tanto es un $2$ -por el teorema anterior. Además, el cuadrado $Q_2$ es el límite topológico del cuadrado sólido $A$ y el teorema anterior muestra inmediatamente que $\operatorname{Bd}(A) = Q_2 \cong S^1$ como se desee.

Answer 5

Si decides hacerlo de forma computacional, puedes demostrar que ambos mapas son continuos observando que son composiciones de funciones continuas.