¿Cómo resolver la Brioschi quinto en términos de funciones elípticas?

Question

Dado el grado de Brioschi

$$w^{5}-10cw^{3}+45c^{2}w-c^2=0$$

Estoy interesado en ver diferentes formas de resolver en términos de funciones elípticas y funciones theta.

Answer 1

Para resolver el general quintic el uso de funciones elípticas, es una manera de reducir a Traer-Jerrard forma y discutido en este post. Un segundo y más simple forma es reducir a la Brioschi quintic forma,

$$w^5-10cw^3+45c^2w-c^2 = 0\tag1$$

Para solucionar $(1)$, primero establezca el parámetro de $m$ como una raíz de $m(1-m) = v$ e donde: $v$ es,

$$\frac{256(1-v)^3}{v^2}=\frac{1728c-1}{c}\tag2$$

luego de definir el argumento de $\tau$,

$$\tau = i\frac{K(k')}{K(k)}+\color{brown}n = i\,\frac{\text{EllipticK[1-m]}}{\text{EllipticK[m]}}+\color{brown}n\tag3$$

con la integral elíptica completa de primera especie $K(k)$ y elíptica parámetro $m=k^2$ ($\tau$ da también en Mathematica sintaxis de arriba). Tenga en cuenta que mientras que $(2)$ es un sextic en $m$, es sólo un cúbicos en $v$, por lo que es solucionable en los radicales.

Método 1: El Dedekind eta función de $\eta(\tau)$.

Para $\color{brown}n = 0,1,2,3,4,$ definir,

$$f_n = 1+\frac{\eta\big(\tau/5\big)}{\eta\big(5\tau\big)}\tag4$$

a continuación, las cinco raíces de los Brioschi quintic son,

$${w_\color{brown}n}^2 =\frac{-c\,(f^2+4)(f^2-2f-4)^2}{f^5+5f^3+5f-11}\tag5$$

Algunas observaciones:

1. Desde $(5)$ implica un cuadrado, el correspondiente signo debe ser utilizado después de tomar la raíz cuadrada. (Hay otra expresión sin una raíz cuadrada, pero es más complicado.)
2. La solución implica que el general quintic pueden ser resueltos por el Rogers-Ramanujan continuó fracción, $$r(\tau)= \cfrac{q^{1/5}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\ddots}}}$$ ya que si $q = \exp(2\pi i \tau)$, entonces, $$\frac{1}{r(\tau)}-r(\tau) =1+\frac{\eta(\tau/5)}{\eta(5\tau)}\tag6$$ y uno puede ver la afinidad entre el$(4)$$(6)$.

Método 2: La Jacobi theta (función deAgregado 27 Nov.)

Las cinco raíces de los Brioschi como $n=0,1,2,3,4$,

$$w_{n}=\pm\sqrt{\frac{-c\,(x^2+4)(x^2-2x-4)^2}{b-11}}$$

donde (ver también este post),

$$x_n=2\sinh\Bigg(\tfrac{\sinh^{-1}\Big(\tfrac{b}{2}\Big)\,+\,2\pi\,i\, n}{5}\Bigg) = -2i\sin\Bigg(\tfrac{i\log\Big(\tfrac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}\Big)\,-\,2\pi\, n}{5} \Bigg)\tag7$$

$$b=\frac{v(v-5)^2}{(v-1)^2}+11$$

$$v=\left(\frac{\vartheta_2(0,p)}{\vartheta_2(0,p^5)}\right)^2$$

$$p=e^{\pi i \tau}=\exp(\pi i \tau)$$

$$\tau = i\frac{K(k')}{K(k)} = i\,\frac{\text{EllipticK[1-m]}}{\text{EllipticK[m]}}$$

con $m$ (a través de $v$) tal como se define por $(2)$. Por lo tanto, además de la continuación de las fracciones, paso $(7)$ también muestra que el general quintic puede ser resuelto mediante la trigonométricas y las funciones hiperbólicas.

Esta solución también utiliza la Jacobi theta función de $\vartheta_j(0,p)$ (donde $j=3$ o $4$ va a funcionar tan bien).