Descomposición de Schur de una matriz con valores propios diferentes es casi única

Question

Deje $M\in \mathbb C^{n,n}$ ha $n$ distintos autovalores, y deje $U_1, U_2$ dos Schur-formas de $M$. Mostrar que si $U_1, U_2$ tienen igualdad de las diagonales, hay un hermitian matriz diagonal $Q$ tal que $U_1=QU_2Q^H.$

Mi intento: tenemos $M=Q_1U_1Q_1^H$ $M=Q_2U_2Q_2^H$ para algunos hermitian $Q_1, Q_2$. Por lo $$U_1 = \underbrace{Q_1^HQ_2}_{=:Q}U_2Q_2^HQ_1.$$

$Q$ es claramente hermitian pero, ¿cómo podemos mostrar que es diagonal? Yo estaba esperando para demostrar que es superior triangular y, a continuación, se seguiría. Sin embargo, ¿cómo podemos utilizar el programa de instalación? $U_1, U_2$ tienen igualdad de las diagonales, por lo $U_1 = D+N_1, U_2=D+N_2$ (para una diagonal $D$ y nilpotent $N_1, N_2$). A partir de la distinción de los autovalores de la siguiente manera en que $M$ es diagonalizable, pero no acabo de ver cómo usarlo.

Todas las sugerencias son enormemente apreciados.

Answer 1

Vamos a demostrar que $Q$ es triangular superior. Deje $e_1,\ldots,e_n$ ser la base canónica de $\mathbb{C}^n$. Supongamos $a_1,\ldots,a_n$ son las entradas de la diagonal de a$U_1$$U_2$.

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Lema: Vamos a $P_{n\times n}$ ser triangular superior con distintas diagonal entradas de $a_1,\ldots,a_n$. Si $v_i$ es un autovector de a $P$ asociado a$a_i$$v_i\in\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$.

Prueba: Desde $P$ es triangular superior, a continuación, $P(\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\})\subset\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$ por cada $1\leq i\leq n$. Observe que los valores propios de a$P|_{\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}}$$a_1,\ldots,a_i$. Por lo tanto, no es $0\neq w_i\in \text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$ tal que $Pw_i=a_iw_i$. Por último, si $v_i$ es un autovector de a $P$ asociado a$a_i$$v_i=c w_i$, ya que la multiplicidad de $a_i$$1$. Por lo tanto, $v_i\in \text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$. $\square$

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Ahora, vamos a $v_1,\ldots,v_n$ ser los vectores propios de a $U_2$ asociado a $a_1,\ldots,a_n$, respectivamente. Desde $U_2$ es triangular superior, por el lema anterior, $\text{span}\{v_1,\ldots,v_i\}\subset \text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$.

Ahora, desde la $\{v_1,\ldots,v_i\}$ son los vectores propios asociados a los diferentes valores propios que luego son L. I. y $\text{span}\{v_1,\ldots,v_i\}= \text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$.

Siguiente, $U_1=QU_2Q^{H}$$U_1Qv_i=QU_2Q^{H}Qv_i=QU_2v_i=a_iQv_i$. Por lo tanto, $\{Qv_1,\ldots,Qv_n\}$ son los vectores propios de a $U_1$ associted a $a_1,\ldots,a_n$.

Por el lema anterior, $\text{span}\{Qv_1,\ldots,Qv_i\}\subset \text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$.

Finalmente,$Q(\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\})=Q(\text{span}\{v_1,\ldots,v_i\})=\text{span}\{Qv_1,\ldots,Qv_i\}\subset\text{span}\{e_1,\ldots,e_i\}$. Esto implica que $Q$ es triangular superior.