¿Qué es una composición en la teoría de las categorías?

Question

Estoy empezando a aprender la teoría de las categorías. Hasta ahora, los ejemplos básicos (como Establecer ) tienen sentido. Pero me cuesta un poco entender los fundamentos.

Supongamos que intento definir una categoría con objetos A, B, y C . Hay una flecha (f) de A a B, una flecha (g) de B a C, y dos flechas (h1 y h2) de A a C (además de las flechas de identidad).

Ahora debe obedecer el axioma de composición:

Para dos flechas cualesquiera f : A B, g : B C, donde src(g) = tar (f), existe una flecha g f : A C, 'g siguiendo a f', que llamamos el compuesto de f con g.

Parece que tenemos dos opciones para g f. Dado que no estamos tratando de dar ningún significado a la categoría, no debería importar cuál elegimos. Pero, ¿importa la elección en identificando ¿la categoría? ¿Escoger h1 da una categoría "diferente" a la de elegir h2? Si es así, ¿no debería formar parte de la definición de la categoría? Si no es así, ¿no tiene sentido preguntar "cuál es la compuesta"? Quizás otra forma de preguntar esto es: ¿ composición tienen que media ¿alguna (una) cosa?

Probablemente mi pregunta no tenga mucho sentido, pero espero que haya suficientes pistas aquí para que alguien pueda corregir mi confusión.

Edición: Tal vez el replanteamiento del axioma de estas formas diferentes aclare mi confusión.

a) Para dos flechas cualesquiera f : A B, g : B C, donde src(g) = tar (f), existe al menos uno flecha g f : A C, 'g siguiendo a f', que podría llama al compuesto de f con g.

b) Para dos flechas cualesquiera f : A B, g : B C, donde src(g) = tar (f), existe una flecha g f : A C, 'g siguiendo a f', es decir el compuesto de f con g.

Answer 1

Para definir una categoría, hay que especificar qué composición tiene esa categoría. Es como la operación de multiplicación en un grupo: para definir un grupo, no basta con decir que se tiene un conjunto y que es posible multiplicar elementos del conjunto; hay que decir realmente lo que se entiende por "multiplicar" como parte de la definición del grupo.

Así, se podría definir una operación $\circ_1$ para lo cual $g\circ_1 f=h_1$ y una operación diferente $\circ_2$ para lo cual $g\circ_2 f=h_2$ y estos definen dos diferentes categorías con los mismos conjuntos de objetos y morfismos. (Sin embargo, como comentó Qiaochu, estas dos categorías son isomorfas, simplemente cambiando $h_1$ y $h_2$ .)