¿Por qué el mínimo conjunto bien ordenado incontable $S_{\Omega}$ ¿único?

Question

En la sección 10 de Topología por Munkres, el conjunto mínimo incontable bien ordenado $S_{\Omega}$ se introduce. Además, se observa que,

Tenga en cuenta que $S_{\Omega}$ es un conjunto bien ordenado e incontable cuya sección es contable. De hecho, su tipo de orden está determinado de forma única por esta condición.

Sin embargo, ¿cómo justificar su singularidad?

Answer 1

Esto se debe a que dados dos conjuntos bien ordenados $X, Y$ se cumple exactamente una de las siguientes condiciones ( ver esta pregunta anterior ):

1. $X$ es de orden isomorfo a $Y$ ;
2. Hay un (único) $a \in X$ tal que $\{ x \in X : x < a \}$ es de orden isomorfo a $Y$ o
3. Hay un (único) $b \in B$ tal que $\{ y \in Y : y < b \}$ es de orden isomorfo a $X$ .

Supongamos que $X$ es otro conjunto bien ordenado que es no de orden isomorfo a $S_\Omega$ . Entonces, o bien

• hay un (único) $b \in S_\Omega$ tal que $\{ y \in S_\Omega : y < b \}$ es de orden isomorfo a $X$ y como $\{ y \in S_\Omega : y < b \}$ es contable, se deduce que $X$ también es contable.

• hay un (único) $a \in X$ tal que $\{ x \in X : x < a \}$ es de orden isomorfo a $S_\Omega$ . Pero entonces $\{ x \in X : x <_X a \}$ es a su vez una sección inicial de $X$ que es incontable.

Por tanto, cualquier conjunto bien ordenado que no sea isomorfo de orden a $S_\Omega$ es contable o tiene una sección inicial propia incontable.

Answer 2

Supongamos que $\alpha$ y $\beta$ son dos ordinales incontables. Supongamos además que para cada $\gamma<\alpha$ , $\gamma$ es contable. Asimismo, supongamos que para muy $\eta<\beta$ , $\eta$ es contable. Se quiere demostrar que $\alpha=\beta$ .

Supongamos que $\alpha<\beta$ . Entonces $\eta=\alpha$ es incontable, y satisface $\eta<\beta$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, $\alpha\not<\beta$ . Asimismo, $\beta\not<\alpha$ .