Fórmula de regresión lineal simple ponderada

Question

Esta página de regresión lineal Simple tiene fórmulas para el cálculo de $\alpha$ y $\beta$. ¿Podría alguien decirme cómo derivar las fórmulas en caso ponderado?

Answer 1

Pensar de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) como una "caja negra" para minimizar

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

para una tabla de datos cuyas $i^\text{th}$ fila es la tupla $(1, x_i, y_i)$.

Cuando hay pesos, necesariamente positivo, se puede escribir como $w_i^2$. Por definición, mínimos cuadrados ponderados minimiza

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Pero eso es exactamente lo que el OLS caja negra es la reducción al mínimo cuando se da la tabla de datos que consiste en la "ponderado" tuplas $(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$. Así, la aplicación de la OLS fórmulas para estos ponderado de tuplas da las fórmulas que usted busca.