¿Es correcto decir que si dos vectores, $A$ y $B$, tienen la mismas normas de $L^p$, % todo $p$, entonces el $A = B$?

Question

Es derecho a decir que si dos vectores, $A$ y $B$ (todos los elementos de $A$ y $B$ son positivas), tienen mismas normas de $L^p$, para todo p, entonces $A = B$?. Gracias.

Answer 1

Como Crostul y Simon S señaló, existe siempre la posibilidad de una permutación de las coordenadas que se sale de la norma invariable.

Pero se puede demostrar que estos son, de hecho, la única esas posibilidades, es decir, que si el aumento de dos secuencias de $(a_i)_{i=1}^n, (b_i)_{i=1}^n$ con elementos positivos satisfacer $$\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^p$$ para todos los $p$, entonces usted debe tener $a_i=b_i$ todos los $i$.

Esto puede ser demostrado por un reiterado argumento con el hecho de que para $p \to \infty$ $p$- norma de un vector asume que el valor de la máxima de coordenadas. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $a_n=b_n$ deben tener.

Entonces, mirando a las secuencias de $(a_i)_{i=1}^{n-1}$$(b_i)_{i=1}^{n-1}$, todavía deben satisfacer la ecuación y por lo tanto llegamos a la conclusión de $a_{n-1}=b_{n-1}$

La iteración de este obtenemos $a_i=b_i$ todos los $i$. (Escrito formalmente, no use inducción matemática aquí.)

Así que las posibilidades de permutación mencionados anteriormente son de hecho las únicas posibilidades.

Answer 2

Jajaja Para un vector $v=(x_1, \dots, x_n)$ $p$-norma es $$||v||_p = \left( \sum_i |x_i|^p \right)^{\frac1p}$ $ para que pueda ver para cualquier permutación de los índices $\sigma \in S_n$ usted tiene $$||v||p = ||(x{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})||_p$ $

Answer 3

Tomar A=(1,1,2) y B=(1,2,-1) y A no es igual a B para p = 2, es decir N(A)=sqrt(1^2+1^2+2^2)=sqrt(6) N(B)=sqrt(1^2+2^2+1^2)=sqrt(6) N(A)=N(B) pero no es igual a B, por tanto, este resultado es no es cierto en general