Cantor ' teorema s con Posets

Question

Teorema de cantor afirma que no podemos construir un mapa de sobreyectiva de $X \to \mathcal{P}(X)$ que puede ser reformulada como no hay $X$ tal que $X \to {0, 1} \cong X$.

¿Me preguntaba si esto es cierto si cambiamos de arbitraria $X$s y arbitrarios mapas a mapas de #% y monotono de %#% de conjuntos parcialmente ordenados? ¿Por ejemplo, hay un conjunto parcialmente ordenado $P$ tal que el conjunto de mapas de monótona $P$ (pedido pointwise) es isomorfo a $P \to {0, 1}$?

Answer 1

La versión reforzada es cierto.

Deje $\langle P,\le\rangle$ ser de un orden parcial, deje $2=\{0,1\}$, y deje $M$ el conjunto de la monotonía de los mapas de $P$ $2$natural con la pointwise orden parcial $\preceq$. Supongamos que $\varphi:\langle P,\le\rangle\cong\langle M,\preceq\rangle$. Claramente la constante de funciones $\mathbf{0}$ $\mathbf{1}$ son el mínimo y el máximo de elementos de $M$ respectivamente, por lo $P$ tiene un mínimo elemento $b_0$ y un máximo del elemento $t_0$. Vamos

$$f_0:P\a 2:x\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }x=t_0\\ 0,&\text{otherwise}\;; \end{casos}$$

a continuación,$f_0\in M$, e $f_0$ es el inmediato sucesor de $\mathbf{0}$. Del mismo modo,

$$g_0:P\a 2:x\mapsto\begin{cases} 0,&\text{if }x=b_0\\ 1,&\text{otherwise}\;; \end{casos}$$

es el predecesor inmediato de $\mathbf{1}$$M$. Por otra parte, $f_0=\varphi(b_0)$ $g_0=\varphi(t_0)$ son el mínimo y el máximo de elementos, respectivamente, de $M\setminus\{\mathbf{0},\mathbf{1}\}$.

Supongamos que para algunos ordinal $\eta$ hemos definido a $b_\xi,t_\xi\in P$$f_\xi,g_\xi\in M$$\xi<\eta$, de modo que para cada una de las $\xi<\eta$ hemos

$$\begin{align*} b_\xi&=\min(P\setminus\{b_\zeta:\zeta<\xi\})\;,\\ t_\xi&=\max(P\setminus\{t_\zeta:\zeta<\xi\})\;,\\ \varphi(b_\xi)=f_\xi&=\min(M\setminus\{f_\zeta:\zeta<\xi\})\;,\text{ and}\\ \varphi(t_\xi)=g_\xi&=\max(M\setminus\{g_\zeta:\zeta<\xi\})\;. \end{align*}$$

Deje $B_\eta=\{b_\xi:\xi<\eta\}$$T_\eta=\{t_\xi:\xi<\eta\}$; si $x\in P\setminus(B_\eta\cup T_\eta)$, $b_\zeta<x<b_\xi$ todos los $\zeta,\xi<\eta$. Definir

$$f_\eta:P\a 2:x\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }x\in T_\eta\\ 0,&\text{otherwise}\;; \end{casos}$$

y

$$g_\eta:P\a 2:x\mapsto\begin{cases} 0,&\text{if }x\in B_\eta\\ 1,&\text{otherwise}\;. \end{casos}$$

Claramente $f_\xi\prec f_\eta$ $g_\eta\prec g_\xi$ por cada $\xi<\eta$. Por otra parte, si $h\in M\setminus\varphi[B_\eta]$, $h(t_\xi)=1$ por cada $\xi<\eta$, lo $f_\eta\preceq h$, y, por tanto,$f_\eta=\min\big(M\setminus\varphi[B_\eta]\big)$. Del mismo modo, $g_\eta=\max\big(M\setminus\varphi[T_\eta]\big)$, y podemos seguir extendiendo la recursivo de construcción.

Supongamos que en algún punto de $P=B_\eta\cup T_\eta$. A continuación, la función

$$h:P\to 2:x\mapsto\begin{cases} 0,&\text{if }x\in B_\eta\\ 1,&\text{if }x\in T_\eta \end{casos}$$

es monotono y no en el rango de $\varphi$. Por lo tanto, la recursividad define dos inyecciones de los ordinales en $P$, lo cual es imposible.