Ejemplo de una función en $L^2(\mathbb{R})$ con derivados no en $L^2(\mathbb{R})$.

Question

Conocemos ejemplos de una función que no se encuentran en $L^2(\mathbb{R})$ con derivados en $L^2(\mathbb{R})$: $$f_1(x) = \mathrm{arctg}(x) \notin L^2(\mathbb{R}), \qquad f1'(x) = \frac{1}{x^2+1}\in L^2(\mathbb{R}): \qquad \int\limits{\mathbb{R}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^2\,dx = \frac{\pi}{2};$$$f_2(x) = \mathrm{Si}(x)\notin L^2(\mathbb{R}), \qquad f2'(x) = \frac{\sin(x)}{x}\in L^2(\mathbb{R}): \qquad \int\limits{\mathbb{R}}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\,dx = \pi;$y $ $$f_3(x) = \mathrm{erf}(x)\notin L^2(\mathbb{R}), \qquad f3'(x) = e^{-x^2}\in L^2(\mathbb{R}): \qquad \int\limits{\mathbb{R}}e^{-2x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$ $ % $ ¿hay algún ejemplo clásico de tal función $f\in L^2(\mathbb{R})$ que no miente su fuerte derivado $f'$ $L^2(\mathbb{R})$?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que algunos de $\,L^2\,$ funciones no diferenciables en todas partes en $\,\mathbb R$.

Segundo, para el caso más general de la debilidad de los derivados que uno fácilmente puede venir para arriba con una función de este tipo.

Ahora, como ejemplo tomemos $\ f(x) = \sin\left(1/x^2\right) \in L^2\left(\mathbb R\right)\,$. El derivado $\,f'$ se parece a $\ f'(x) = -2\cos\left(1/x^2\right)\big/x^3$. Claramente $\ f'(x)\not\in L^2\left(\mathbb R\right)$.