¿Puede evaluar un polinomio distinto de cero a la función cero en un conveniente anillo infinito de char 0?

Question

Voy a asumir que todos los anillos conmutativos en esta pregunta. La impaciencia puede desplazarse hacia abajo para el "blockquote" para leer la pregunta.

Siempre que tenemos un polinomio sobre un anillo, que se define a una función desde el anillo a sí mismo por la evaluación. Es razonable preguntarse cuando dos polinomios de definir la misma función.

Desde el factor teorema se sigue que un $n^\text{th}$ grado del polinomio a través de una integral dominio en la mayoría de las $n$ raíces. Entonces es fácil para mostrar esto:

Teorema. Deje $R$ ser un infinito integral de dominio y deje $f \in R[X]$ tal que $f(a)=0$ todos los $a \in R$,$f = 0$.
Prueba. $f$ tiene una infinidad de raíces, por lo que debe ser el cero del polinomio. $\quad\square$

Para finito de los anillos de un tipo de situación contraria se produce:

Teorema. Para cualquier anillo finito $R$ existen polinomios sobre $R$ que son diferentes, pero están de acuerdo en todos los elementos.
Prueba. Hay sólo un número finito de funciones de $R$ a sí misma, sino $R[X]$ es infinito. $\quad\square$

Si queremos hacer más suposiciones naturalmente es posible probar más, como Pete L. Clark escribió en este post: [1]

Luego está la cuestión de los infinitos anillos que no son una parte integral de los dominios. Es relativamente fácil llegar con ejemplos de un anillo de $R$, con una característica positiva y un valor distinto de cero el polinomio que da como resultado el cero de la función, por ejemplo: $$ R := \bigoplus_{n=1}^\infty \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \quad\text{and}\quad f(X) := X^3-X.$$

La Pregunta:

Esto deja abierto el caso aludido en este post title: ¿hay un anillo conmutativo de la característica $0$ (por lo tanto, infinito) de tal manera que un polinomio distinto de cero da como resultado el cero de la función?

Answer 1

Sí. Yo voy a dar mi ejemplo primero. A continuación es el envío de mensajes de texto me hizo pensar que me estaba demostrando que la respuesta sea "no". Tratando de demostrar que la respuesta era "no", me llevó a este ejemplo:

Deje $R=\mathbb{Z}[y]/\langle 6y,y^2\rangle$. Este anillo conmutativo tiene características de cero, ya que no se entero está en el ideal de $\langle 6y,y^2\rangle$. Y ahora usted puede simplemente deslice sobre el polinomio ejemplo para que siempre se evalúa a cero: $$f(X) = y\;X^3-y\;X=y\;(X^3-X)$$

Justo como en tu ejemplo, $X^3-X$ siempre se evalúa a un múltiplo de $6$ al $X$ es un número entero. Más generalmente, si $X=a+b\;y$, entonces a partir de la $y^2$ es modded, sólo necesitamos considerar el término constante $a$.

Si ha cambiado la pregunta acerca de la integral de dominios en lugar de característica cero anillos, entonces la respuesta sería "no" completando el argumento de abajo.

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Supongamos que $f$ es un polinomio en a $R[x]$ de grado $n$: $$f(x)=\sum_{j=0}^n\;c_j\;x^j$$ The equations $$f(i)=0$$ for $i=0\ldots n$ form a system of $n+el 1$ linear equations in the unknowns $\{c_j\}$. There is one clear solution to this system, where each $c_j=0$. But can there be other solutions with $c_j\in I$?

El sistema se puede escribir como $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 1 &\cdots & 1\\ 1 & 2 & 4 &\cdots & 2^n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & n & n^2 & \cdots & n^n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_0\\c_1\\c_2\\\vdots\\ c_n\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$

La matriz de la izquierda (que voy a llamar a $V$) es un ejemplo de una matriz de Vandermonde que es invertible en a $M(\mathbb{Q})$. Ahora, $V$ podría, no tiene un inverso en $M(R)$, pero eso no es un gran problema. Es todavía el caso de que, en $M(R)$ hay una matriz de $W$ tal que $W\;V$ es un escalar matriz $D$ con un número entero $d$ corriendo por la diagonal. Usted sólo tiene que reescalar $V^{-1}$ por el mínimo común múltiplo de los divisores que aparecen en $V^{-1}$. Después de aplicar el $W$ a ambos lados, $$D \begin{bmatrix}c_0\\c_1\\c_2\\\vdots\\ c_n\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$

Así que hay algunos entero distinto de cero $d$, de tal manera que para cada una de las $j$,$d\cdot c_j=0$.

Aquí me di cuenta de que la respuesta es "sí".

Answer 2

Considere el anillo generado por $a$ $a^2 = 0$ y tomar $p(x) = a x$.