Buscar la transformación de Möbius...

Question

... los mapas:

$-1 \mapsto i,$

$\infty \mapsto 1,$

$i \mapsto 1+i$

¡Esto me esta volviendo loco! Debe ser fácil pero sigo recibiendo atado en nudos. Cualquier ayuda muy apreciada!

Answer 1

$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ $ $$f(\infty)=\frac{a}{c}=1$ $ $$f(-1)=\frac{-a+b}{-c+d}=i$ $ $$f(i)=\frac{ai+b}{ci+d}=1+i$ $ Que tenemos cuatro variables, tres ecuaciones, todo lo que tienes que hacer es resolverlos, se puede elegir una variable libre

Answer 2

Podemos encontrar $\omega(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ usando fórmula $$\frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}=\frac{\omega-\omega_1}{\omega-\omega_2}:\frac{\omega_3-\omega_1}{\omega_3-\omega_2}$$ where $(z_1,z_2,z_3)=(-1,\infty,i)$ and $(\omega_1,\omega_2,\omega_3)=(i,1,1+i).$

En nuestro caso tenemos $$\frac{z+1}{1}:\frac{i+1}{1}=\frac{\omega-i}{\omega-1}:\frac{1}{i},$$ where we change $z-z_2$ with $1$ because $z_2=\infty,$ etcetera.

Y ahora nos encontramos que el $\omega=\omega(z)=\dfrac{z+2+i}{z+2-i},$ como las soluciones anteriores.

Answer 3

Supongamos que la transformación de Möbius es que $M(z)=\frac{z+a}{z+b}$, y luego por $M(-1)=i,M(i)=1+i$, podemos conseguir que $a=2+i,b=2-i$, por lo que la deseada transformación de Möbius es que $$M(z)=\frac{z+2+i}{z+2-i}.$ $