Fórmula integral de Cauchys en la función de polo de orden 2

Question

Quiero calcular la integral

$$\int_{|z - 1| = 1/2} \frac{e^{iz}}{(z^2-1)^2} \mathrm{d}z$$

usando el fórmula integral de Cauchy (Teorema de residual no está permitido). Examinar el integrando se obtiene

$$ \frac{e^{iz}}{(z^2-1)^2} = \frac{e^{iz}}{(z-1)^2(z+1)^2}.$$

El problema es que no puedo descomponer el integrando como

$$f(z) \frac{1}{1-z}$$

$f$ no ser holomorfa en $B_{1/2}(1)$ debido a la singularidad del integrando en $z=1$ es un polo de orden $2$. Creo que no ayudan la descomposición de una fracción parcial.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Recordar la fórmula Cauchy Integral para derivados más altos: $f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \displaystyle\int_\gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta$.

Que $g(z)=\dfrac{e^{iz}}{(z+1)^2}$. Puesto que es analítica en $g$, $\gamma: |z-1|=\frac{1}{2}$ $g'(1)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int\gamma \frac{g(z)}{(z-1)^2}\ dz=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int\gamma \frac{e^{iz}}{(z^2-1)^2}\ dz$. Así, el valor de la integral es $2\pi i\cdot g'(1)$.

Answer 2

Aviso, tenemos %#% $ #% % $ $$\int_{|z-1|=1/2}\frac{e^{iz}}{(z^2-1)^2}dz$

Desde entonces, $$\int_{|z-1|=1/2}\frac{e^{iz}}{(z-1)^2(z+1)^2}dz$ está dentro del círculo $z=1$ por lo tanto, es el polo de segundo orden por lo tanto que tenemos
$|z-1|=1/2$ $ Ahora, usando el fórmula Integral de Cauchy, conseguir %#% $ #% % $ $$f(z)=\frac{e^{iz}}{(z+1)^2}$

$$\int{|z-1|=1/2}\frac{e^{iz}}{(z-1)^2(z+1)^2}dz=\frac{2\pi i}{1!}\lim{z\to 1}\left[\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{iz}}{(z+1)^2}\right)\right]$$ $$=2\pi i\lim_{z\to 1}\left[\frac{e^{iz}(i(z+1)^2-2z-2)}{(z+1)^4}\right]$$

$$=2\pi i\left[\frac{e^{i\times 1}(i(1+1)^2-2\times 1-2)}{(1+1)^4}\right]$$

Answer 3

Que $$f(u) =\frac{e^{iu}}{(u+1)^2}$$ then $% $ $\oint{\left|z-1\right| =\frac{1}{2} }\frac{e^{iz}}{(z^2 -1 )^2}dz =\oint{\left|z-1\right| =\frac{1}{2} }\frac{f(z)}{(z-1)^2} dz =\frac{2\pi i}{1!} f' (1)=\frac{-\pi e^i (i+1)}{2}$