De
$$d(x_{n+1},x_n)=d(g(g(x_{n-1})),g(x_{n-1}))\le \lambda d(g(x_{n-1}), x_{n-1})=d(x_n,x_{n-1})$$
llegamos después de $n$ aplicaciones de la desigualdad
$$d(x_{n+1},x_n)\le \lambda d(x_n,x_{n-1}) \le \lambda^2 d(x_{n-1},x_{n-2}) \le \cdots\le \lambda^n d(x_1,x_0)\tag{1}$$
Ahora queremos demostrar que las $(x_n)_n$ es una secuencia de Cauchy. Así que vamos a $\epsilon>0$.
Asumimos $x_1\not=x_0$ (de lo contrario $x_0$ ya es un punto fijo). Set $c=d(x_1,x_0)>0$.
Desde $0<\lambda<1$, la suma de $\sum_{n=0}^\infty \lambda^n$ converge (a $1/(1-\lambda)$). Por lo tanto, podemos recoger $N$ lo suficientemente grande tal que
$$\sum_{k=n}^\infty \lambda^k<\frac{\epsilon}{c}$$
para todos los $n\ge N$.
A continuación, para $m>n\ge N$ tenemos por la desigualdad de triángulo
$$d(x_m,x_n)\le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k},x_{k+1})$$
La aplicación de $(1)$ obtenemos
$$d(x_m,x_n)\le c\sum_{k=n}^{m-1} \lambda^k\le c\sum_{k=n}^\infty \lambda^k<c\cdot\frac{\epsilon}{c}=\epsilon$$
Por lo $(x_n)_n$ realmente es una secuencia de Cauchy. Desde $(X,d)$ es completa, que converge a un límite de $x\in X$.
Por la ecuación de $x_{n+1}=g(x_n)$, el límite satisface $x=g(x)$, por lo que es un punto fijo.
La unicidad es trivial, vamos a $y$ ser otro punto fijo de $g$. Entonces
$$d(x,y)=d(g(x),g(y))\le \lambda d(x,y)$$
Ahora si $x\not=y$,$d(x,y)>0$, por lo que podemos dividir por $d(x,y)$ obtener $\lambda\ge 1$, una contradicción. Por lo tanto, $x=y$.
