Clasificación de estructuras algebraicas como campos

Question

¡Solo tengo una duda!

Tenemos una pregunta nosotros cuál de las siguientes estructuras algebraicas fueron campos, cada uno de ellos excepto el último que tengo. Ni sé cómo empezar cómo atacar la cuestión.

¿Es real números modulo 2 $\pi$ un campo?

Answer 1

Si desea que el cociente sea un anillo, entonces usted debe tomar el cociente por un ideal. El ideal generado por a $2\pi$ es de $\Bbb R$, por lo que este cociente es el cero del anillo, que no se considera un campo.

Esto no es nada especial con $2\pi$: cada número distinto de cero hará que el cociente cero. Si intenta mod por cero, por supuesto, obtener sólo $\Bbb R$ espalda, y así que sería un campo de batalla!

Si has convencido a ti mismo de lo que se modding no es todo de $\Bbb R$, entonces, lamentablemente, se está pensando en algo que no es un ideal, y por lo que el cociente por este objeto no será ni siquiera un anillo (y por supuesto no podía ser un campo, entonces.)

Answer 2

No es un campo. De hecho, si $\mathbb{R}$ mod $2\pi$ se refiere al grupo de radian las medidas de los ángulos bajo la suma, entonces no tiene una buena operación de multiplicación. Se tiene bien definida la adición, pero la multiplicación es un problema, ya que el resto se obtiene al restar el entero más cercano múltiples de $2\pi$ depende de lo que el representante que usted escoja mod $2\pi$. Por ejemplo, $$1\times 1 = 1$$

Sin embargo,

$$(1+2\pi)\times(1+2\pi)=1+4\pi + 4\pi^2$$

que no difieren en un múltiplo entero de $2\pi$$1$. En el ejemplo de las medidas de los ángulos, $1$ $1+2\pi$ "debe" representar el mismo ángulo, pero no hay una buena manera de "multiplicar los ángulos", de modo que $1$ $1+2\pi$ le garantiza que obtendrá la misma respuesta.

EDIT: a propósito de tu comentario para rschweib, "el anillo" es la definición de la misma como "campo", a excepción de los elementos no están obligados a tener multiplicativo inversas, de modo que no hay necesariamente una buena operación de división. Por ejemplo, los enteros forman un anillo porque se puede sumar, restar y multiplicar, pero no necesariamente dividir. Para ser un campo, también debe ser capaz de dividir. Cuando decimos, "no es ni siquiera un anillo!", nos referimos no sólo no tenemos la división, no tenemos ni la multiplicación.

Answer 3

Para $K$ a ser un campo, primero necesita del estado: "Lo que es el conjunto, ¿cuál es el operador de suma, y lo que es el operador de multiplicación?" Una vez que tenga estos entendido, usted necesita para pasar los siguientes dos pruebas:

1. Es $K$ un grupo abelian bajo +?
2. Es $K - \{0\}$ un grupo abelian en $\times$?

Así, en el ejemplo concreto, el conjunto es infinito: es $\mathbb{R} \bmod 2\pi$, el cual es esencialmente el intervalo de $[0, 2\pi)$. La adición y la multiplicación de los operadores, son simplemente los mismos de $\mathbb{R}$ pero modulo $2\pi$.

Así que ahora se aplican las dos pruebas anteriores. Es $[0,2\pi)$ un grupo abelian bajo, además de mod $2\pi$? Tienes que ir a través de los requisitos para abelian grupos (bien definidos, operación, cierre, la asociatividad, la existencia de una identidad, y los inversos de todos los elementos). Usted debe ser capaz de convencerte de que la respuesta es "sí".

Ahora hay que hacer esto de nuevo para el segundo requisito: es $(0,2\pi)$ un grupo abelian bajo la multiplicación de mod $2\pi$? (Tenga en cuenta que he cambiado la izquierda del soporte a un paréntesis para indicar que la exclusión de 0 aquí.) Como otros ya han señalado, la operación no está bien definida: diciendo que nuestro conjunto es "equivalente" para el intervalo de $(0,2\pi)$ somos la agrupación de todos los múltiplos de $2\pi$ juntos en una clase de equivalencia se llama $0$ (porque después de todo, $0=2\pi =4\pi =6\pi= \cdots = -2\pi = -4\pi=\cdots$ cuando se considera mod $2\pi$). En el orden de la multiplicación para ser "bien definido" debe ser cierto que usted puede elegir cualquier representación de un miembro del conjunto y se multiplica por cualquier otro miembro del conjunto y obtener siempre el mismo resultado. Pero, como Ben Blum-Smith ya se señaló, esta falla en nuestro entorno. Así que la multiplicación no es bien definido y no tenemos un grupo abelian. (Una vez que encuentre la operación no está bien definida, usted no puede incluso sensatez preguntar acerca de las otras propiedades del grupo, así que dejas aquí.)

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Por supuesto, esto es muy largo aliento. Si usted está tomando un examen, que inmediatamente se sospecha que esta cosa no es un campo. Usted no tiene que encontrar todas las razones por qué, sólo tienes que encontrar una razón. Y con algo de experiencia, que rápidamente "sentido" de que algo no va a funcionar con la multiplicación y que se enfocaría en este "no definido".

Answer 4

El círculo (o toro) cociente de grupo $\rm\ R/G = \Bbb R/2\pi\Bbb Z\ $ no se forma de un anillo, porque, en general

Teorema $\ $ Coset multiplicación $\rm\:(r\! +\! G)(s\! +\! G) = rs\! +\! G\:$ es bien definidas $\rm\!\iff\! G\,$ es un ideal de a $\rm\,R$

Por lo tanto el aditivo cociente grupo $\rm\:R/G\:$ hereda la multiplicación de $\rm\:R\:$ fib $\rm\:G,\:$ además de ser un subgrupo aditivo de $\rm\,R,\:$ es, $ $ más, $ $ cerrado bajo la multiplicación por todos los elementos de a $\rm\,R.$

En tu ejemplo, es fácil construir explícita ejemplos que ilustran que tal coset la multiplicación no es bien definido.