Cálculo rápido para$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}dx=0$

Question

Quiero mostrar que$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}dx=0$, pero ¿hay un método más rápido que encontrar el contorno y hacer todos los cálculos?

De lo contrario, mi idea es hacer la sustitución$x=e^t$, integral que cambia a$\int _{-\infty}^{\infty}\frac{t e^t}{1+e^{2t}}dt$. El siguiente paso es tomar el contorno$-r,r,r+i\pi,-r+i\pi$ e integrarlo ...

Answer 1

Si usa la sustitución$x=1/t$, puede verificar directamente que $$ \ int_0 ^ 1 \ frac {\ log x} {1 + x ^ 2} \, dx = - \ int_1 ^ \ infty \ frac {\ log t} {1 + t ^ 2} \, dt. $$

Answer 2

Use la sustitución$x=\tan\theta$.

ps

Answer 3

Aquí hay un enfoque general. Considera el integal

ps

que es la transformada de Mellin de la función$$ F(s) = \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x^2}=\frac{\pi}{2\sin(s\pi/2)},\quad 0<Re(s)<2. $. Ahora, nuestra integral puede ser evaluada como

ps

Nota:

1) Para evaluar la integral anterior, puedes usar la técnica .

2)

ps

Answer 4

La manera más rápida es preguntarle a Wolfram Alpha o Maple.