El operador Cesàro tiene un límite de$1<p<\infty$

Question

El operador de Cesàro$T\colon \ell_{p}\to\ell_{p}$ está definido por$(Tx)_{k}=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}x_{j},\: k\in\mathbb{N}$, donde$x=(x_{k})_{k=1}^{\infty}$ muestra que$T$ está acotado si$1<p<\infty$. Puedo hacerlo por$p=\infty$, pero no cuando está entre$1$ y$\infty$. Gracias.

Answer 1

Usando la desigualdad de Hardy se puede ver que $$\Vert T(x)\Vert_p= \left(\sum\limits_{k=1}^\infty \left|\frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^k x_j\right|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^k |x_j|\right)^p\right)^{1/p}\leq$$ $$\left(\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\sum\limits_{k=1}^\infty |x_j|^p\right)^{1/p}= \frac{p}{p-1}\left(\sum\limits_{k=1}^\infty |x_j|^p\right)^{1/p}= \frac{p}{p-1}\Vert x\Vert_p$$ Esto significa que $$\Vert T\Vert\leq\frac{p}{p-1}$$

Answer 2

Algunos consejos: deje $q$ el conjugado exponente de $p$: $1/p+1/q=1$. Escribir $$\left|\sum_{k=1}^Nx_k\right|^p=\left|\sum_{k=1}^Nx_kk^{1/(pq)}k^{-1/(pq)}\right|^p$$ y el uso de Hölder la desigualdad para conseguir que $$\left|\sum_{k=1}^Nx_k\right|^p\leq \sum_{k=1}^N\left|x_k\right|^pk^{1/q}N^{p/q-1q}$$ (tenemos que encontrar un enlace para $\sum_{k=1}^N k^{-1/(pq)}$ por ejemplo, comparar con una integral). Luego tomar la suma de $N$, cambiar el orden de la suma y encontrar un límite, comparando con un integrante, de $\sum_{N\geq k}N^{-1-1/q}$ para obtener el resultado.

De hecho, hemos utilizado Hardy desigualdad.

Tenga en cuenta que para $p=1$ (incluso si no se le pide), $T$ no está bien definida ya que si tomamos $x:=(1,0,\ldots,0,\ldots)$$(Tx)_k=\frac 1k$$x\notin \ell^1$.

Answer 3

En el caso p = 1,$T$ no está definido en$l_1$, pero está bien definido en un subespacio de$l_1$. Por lo tanto, la pregunta es "¿Puede$T$ estar limitado?" La respuesta es no. Si lo desea, puede tratar de descubrir cómo probar eso, eso es interesante.