Integral de$\int \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2}dx$

Question

Estoy teniendo problemas al resolver lo siguiente:$$\int _{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2}dx Hints son bienvenidos gracias.

Answer 1

El denominador tiene singularidades en $z=\pm i$, lo que sugiere que el contorno de la integración es el enfoque correcto; el problema es que $\cos(3z)$ es exponencialmente grande en un contorno semicircular de radio $R$ ( $R\rightarrow\infty$ ) en la mitad de plano. Usted puede escribir $\cos(3z)=\frac{1}{2}\left(e^{3iz}+e^{-3iz}\right)$ y evaluar las dos términos resultantes por separado (cada uno es pequeño en uno de los dos la mitad de los aviones), o bien utilizar el hecho de que el integrando es real en la recta real y acaba de escribir $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos (3z)}{(z^2+1)^2}dz={\text{Re}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{3iz}}{(z^2+1)^2}dz.$$ En cualquier caso, que el viento hasta la evaluación de $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{3iz}}{(z^2+1)^2}dz={2\pi i}\cdot{\text{Res}}_{z=i}\frac{e^{3iz}}{(z+i)^2(z-i)^2}=2\pi i \frac{d}{dz}\frac{e^{3iz}}{(z+i)^2}\bigg\vert_{z=i}\\=2\pi i\left(\frac{3ie^{3iz}}{(z+i)^2}-\frac{2e^{3iz}}{(z+i)^3}\right)\bigg\vert_{z=i}=\frac{2\pi i}{e^3}\left(-\frac{3i}{4}+\frac{1}{4i}\right)=\frac{2\pi}{e^3},$$ cual es la respuesta correcta. (Tenga en cuenta que debido a que el polo en $z=i$ es de segundo orden, usted tiene que mirar en el primer orden de un término en el numerador; esto es lo que tomando la derivada).