Condiciones necesarias y suficientes para que la diferencia de dos ecuaciones cuadráticas no tenga soluciones en$\mathbb{N}$

Question

Supongamos que tiene una ecuación de la forma

$$ a (n ^ 2 - m ^ 2) + b (nm) + c = 0 $$

Con números enteros dados$a$,$b$ y$c$.

¿Hay una condición necesaria y suficiente de que la ecuación no tenga soluciones $n$ y$m$ en$\mathbb{N}$?

¿Hay suficientes condiciones simples para que no haya soluciones en$\mathbb{N}$ que sean útiles para mostrar esto en la práctica (cuando tienes números concretos para$a$,$b$ y$c$?)

Answer 1

$$(n-m)(a(n+m)+b)+c=0$$

Si $c=0$, $n=m=1$ siempre es una solución. De lo contrario, considere la posibilidad de $c \not =0$.

Si $a=0$, entonces la ecuación se convierte en $b(n-m)+c=0$, por lo que no hay solución iff $b \nmid c$.

De lo contrario, considere la posibilidad de $a \not =0$. Deje $n-m=d \mid c$ donde $d$ puede ser negativo. Hay sólo un número finito de posibilidades para $d$, dependiendo de la $c$. A continuación,$a(n+m)+b+\frac{c}{d}=0$, lo $n+m=-\frac{b+\frac{c}{d}}{a}$. Esto le da

$$(n, m)=(\frac{-\frac{b+\frac{c}{d}}{a}+d}{2}, \frac{-\frac{b+\frac{c}{d}}{a}-d}{2})=(\frac{ad^2-bd-c}{2ad}, \frac{-ad^2-bd-c}{2ad})$$

Así, no hay ninguna solución iff la expresión anterior para $m,n$ no dar un par de números naturales para todos los positivos y negativos divisores $d$$c$.