¿Qué significa que dos funciones sean "ortogonales" y por qué es importante?

Question

A menudo me he encontrado con el concepto de ortogonalidad y funciones ortogonales, por ejemplo, en las series de Fourier las funciones base son el cos y el seno, y son ortogonales. Para los vectores, ser ortogonal significa que son realmente perpendiculares y que su producto punto es cero. Sin embargo, no estoy seguro de cómo el seno y el coseno son realmente ortogonales. Están desfasados en 90, pero debe haber una razón diferente por la que se consideran ortogonales. ¿Cuál es esa razón? ¿Ser ortogonal realmente tiene algo que ver con la geometría, es decir, ángulos de 90 grados?

¿Por qué queremos tener cosas ortogonales tan a menudo en matemáticas? Especialmente con transformaciones como la de Fourier, queremos tener bases ortogonales. ¿Qué significa eso? ¿Hay algo mágico en que las cosas sean ortogonales?

Answer 1

El concepto de ortogonalidad con respecto a las funciones es como una forma más general de hablar de ortogonalidad con respecto a los vectores. Los vectores ortogonales son geométricamente perpendiculares porque su producto punto es igual a cero. Cuando se toma el producto puntual de dos vectores, se multiplican sus entradas y se suman; pero si se quiere tomar el producto "puntual" o interno de dos funciones, se las trataría como si fueran vectores con infinitas entradas y tomar el producto puntual se convertiría en multiplicar las funciones juntas y luego integrar sobre algún intervalo. Resulta que para el producto interior (para un número real arbitrario L) $$<f,g> = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)g(x)dx$$ las funciones $sin(\frac{n\pi x}{L})$ y $cos(\frac{n\pi x}{L})$ con números naturales n forman una base ortogonal. Es decir $<sin(\frac{n\pi x}{L}),sin(\frac{m\pi x}{L})> = 0$ si $m \neq n$ y es igual a $1$ en caso contrario (lo mismo ocurre con el Coseno). De modo que cuando expresas una función con una serie de Fourier en realidad estás realizando el proceso de Gram-Schimdt, proyectando una función sobre una base de funciones Seno y Coseno. Espero que esto responda a tu pregunta.

Answer 2

Los vectores son ortogonales no si tienen un $90$ La ortogonalidad real se define con respecto a un producto interior. Lo que ocurre es que para el producto interior estándar sobre $\mathbb{R}^3$ si los vectores son ortogonales tienen un $90$ ángulo entre ellos. Podemos definir muchos productos internos y hablamos de ortogonalidad si el producto interno es cero. En el caso de las series de Fourier el producto interior es:

$$ \langle \, f ,g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x)^* dx$$

y de hecho $\langle \sin ,\cos\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \cos(x) dx = 0 $ ya que el integrando es impar.

Y sí hay algo especial en que las cosas sean ortogonales, en el caso de la serie de fourier tenemos una base ortogonal $e_0(x), \dots, e_n(x),\dots$ de todos $2\pi$ funciones periódicas. Dada cualquier función $f$ si queremos escribir $f$ en esta base podemos calcular los coeficientes de los elementos de la base simplemente calculando el producto interior. Ya que:

$$ f(x) = \sum_{k= 0}^{\infty} a_k e_k(x)$$

$$ \langle \, f ,e_i\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e_i(x)^* dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k= 1}^{\infty} a_k e_k(x) e_i(x)^* dx $$

$$ \sum_{k= 0}^{\infty} a_k \int_{-\pi}^{\pi} e_k(x) e_i(x)^* dx$$

Y ahora mágicamente por la ortogonalidad:

$$ = \sum_{k= 1}^{\infty} a_k \delta_{i,k} = a_i$$

Así que podemos escribir cualquier función directamente en la base ortogonal:

$$ f(x) = \sum_{k= 0}^{\infty} \langle \, f ,e_k\rangle e_k(x)$$

Answer 3

La ortogonalidad, como parece saber, proviene originalmente de la geometría. Hablamos de que dos vectores (es decir, segmentos de línea dirigidos) son ortogonales cuando forman un ángulo recto entre sí. Cuando se tienen vectores ortogonales, se pueden aplicar cosas como el teorema de Pitágoras, que es un teorema bastante claro cuando se piensa en él, y que debería dar una idea del poder de la ortogonalidad.

El producto punto nos permite hablar de ortogonalidad un poco más algebraicamente. En lugar de considerar segmentos de línea dirigidos, podemos considerar elementos de $\mathbb{R}^n$ en su lugar. La ortogonalidad se traduce en un producto punto igual a cero.

Ahora, la ortogonalidad que se ve al estudiar las series de Fourier es de nuevo un tipo diferente. Hay un concepto muy común y ampliamente utilizado de un espacio vectorial, que es un conjunto abstracto con algunas operaciones sobre él, que satisface algo así como $9$ lo que hace que funcione de forma muy parecida a $\mathbb{R}^n$ en muchos aspectos. Podemos hacer cosas como sumar los "vectores" y escalar los "vectores" por alguna constante, y todo se comporta de forma muy natural. El conjunto de funciones de valor real sobre cualquier conjunto es un ejemplo de espacio vectorial. Esto significa que podemos tratar las funciones como si fueran vectores.

Ahora bien, si podemos tratar las funciones como vectores, ¿quizás también podamos hacer algo de geometría con ellas y definir un concepto equivalente al de producto punto? Resulta que, en ciertos espacios vectoriales de funciones, podemos definir una noción equivalente a la de producto puntual, en la que podemos "multiplicar" dos "vectores" (léase: funciones), para devolver un escalar (un número real). Este producto se denomina "producto interno", y también se define mediante un puñado de axiomas, para asegurar que se comporta como esperamos. Definimos que dos "vectores" son ortogonales si su producto interior es igual a $0$ .

Cuando se estudian las series de Fourier, se observa específicamente el espacio de los cuadrados (Lebesgue) integrables $L^2{[-\pi, \pi]}$ que tiene un producto interno, $$\langle f, g \rangle := \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \mathrm{d}x.$$ Decir funciones $f$ y $g$ son ortogonales significa decir que la integral anterior es $0$ . Las series de Fourier no son más que una serie para expresar funciones en $L^2{[-\pi, \pi]}$ como una suma infinita de funciones ortogonales.

Ahora, utilizamos la ortogonalidad de las funciones porque realmente produce resultados muy buenos. Las series de Fourier son una forma muy eficiente de aproximar funciones, y muy fácil de trabajar en términos de cálculo. Cosas como el teorema de Pitágoras siguen siendo válidas y resultan muy útiles. Si quieres saber más, te sugiero que estudies las series de Fourier y/o los espacios de Hilbert.

Answer 4

Tienes razón, "ortogonal" requiere una definición. La idea es que se necesita alguna idea de un producto interno.

Un producto interno, sobre un espacio vectorial, $V$ sobre un campo de escalares, $F$ es una función $\langle \cdot , \cdot \rangle \colon V \times V \to F$ satisfaciendo algunas propiedades (fáciles de encontrar en cualquier libro de álgebra lineal o en Wikipedia). Por ejemplo, el producto punto en $\Bbb{R}^n$ es un producto interno.

Llamamos a dos vectores, $v_1,v_2$ ortogonal si $\langle v_1, v_2 \rangle=0$ .

Por ejemplo $(1,0,0) \cdot (0,1,0)=0+0+0=0$ por lo que los dos vectores son ortogonales.

Así, si tenemos un espacio vectorial de funciones, a espacio funcional . Por ejemplo, $L^2([-\pi,\pi])$ las funciones cuadradas integrables, de valor complejo, sobre $[-\pi,\pi]$ podemos definir un producto interno como

$$\langle f, g \rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{\ast}(x)g(x) dx $$

Dos funciones son ortogonales si $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{\ast}(x)g(x) dx=0$ . Por ejemplo $\sin(x),\cos(x)$ son ortogonales.

¿Por qué nos importa? Bueno, por la serie de Fourier. Para las series de Fourier, se expande una función en $L^2([-\pi,\pi])$ como una suma de cosenos y senos. ¿Cómo se calculan los coeficientes?

Tenga en cuenta que $\langle \sin(nx),\sin(mx)\rangle = \delta_{n,m}$ . Es $1$ si $n=m$ y $0$ otra cosa. Lo mismo con el coseno, y la mezcla $\sin$ y $\cos$ son $0$ . Esto forma un ortonormal base. Esto significa que todos los vectores base son ortogonales, y el producto interno de cualquier vector base consigo mismo es $1$ . Esto nos da una forma de calcular las series de Fourier.

Básicamente asumimos $f(x)=\sum a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)$ . Entonces, anota:

$$\langle \sin(mx),f(x) \rangle = \langle \sin(mx),\sum a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx) \rangle = b_m$$

Así que podemos averiguar toda la serie.

Answer 5

simplemente en la mecánica cuántica las funciones ortogonales iguales a cero significa que no hay solapamiento entre ellas. cada función representa el estado de energía y para los estados no degenerados no se encuentra el solapamiento entre los estados. en forma vectorial significa que no hay proyección de cada vector sobre otro vector como el vector unitario i, j, k son los vectores base.

saludos

ali nasir imtani