Variación de acción con variaciones de coordenadas de tiempo

Question

Yo estaba tratando de derivar la ecuación (65) en la siguiente reseña:

http://relativity.livingreviews.org/open?pubNo=lrr-2004-4&page=articlesu23.html

Este ligeramente inusual entonces usual de la mecánica clásica, ya que incluye una variación de tiempo también, $\delta t$.

Generalmente uno podría definir, $$\delta S~=~ \int \left[ L \left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) - L \left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\right] dt , $$ donde,

$$\tilde{q}~=~q+\delta q. $$

Tenemos entonces (antes de la aplicación de int por partes),

$$ \delta S ~=~ \int \left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q +\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q\right)dt.$$

¿Cómo proceder si tanto $q$ $t$ variar y, además, que $q$ depende de una variación $t$?

Es la definición de ahora

$$\delta S~=~ \int \left[ L \left(\tilde{q}(t+\delta t),\dot{\tilde{q}}( t+\delta t), t+\delta t\right) - L \left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\right] dt~? $$

Si es así ¿cómo proceder?

Answer 1

Este el Problema Variacional con el fin desconocido-tiempo y se procede así:

$$\delta S= \int_{t_i}^{t_f+\delta t_f} L \left(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t\right) dt - \int_{t_i}^{t_f} L \left(q, \dot{q}, t\right) dt$$

Después de varias transformaciones y la integración por partes uno obtiene finalmente la costumbre de Euler-Lagrange diff eq además de una condición de frontera que involucran $\delta t_f$:

$$0 = L(q, \dot{q}, t) \delta t_f + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\delta q_f - \dot{q} \delta t_f)$$

Derivación pasos:

una. Expanda la primera integral en una serie de Taylor y mantener los términos de 1er orden y la división de los límites de integración (y haciendo cualquier cancelaciones):

$$ \delta S= \int_{t_f}^{t_f+\delta{t_f}} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt $$

b. La variación total se compone de 2 variaciones;$\delta{q}$$\delta{t_f}$. La integración de más de un pequeño intervalo i.e $[t_f, t_f + \delta{t_f}]$ es equivalente a la multiplicación por $\delta{t_f}$:

$$ \delta S= \delta{t_f} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt $$

c. Términos como " $\delta{t_f}\delta{q}$ o $\delta{t_f}\delta{\dot{q}}$ son de 2º orden variaciones y se puede quitar:

$$ \delta S= \delta{t_f L} + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt $$

d. Integración por partes se obtiene un habitual de Euler-Lagrange diff eq. además de la condición de contorno.

e. En la condición de contorno en el tiempo $t_f$ uno:

La variación Total de $q$ $t_f$ es

$$\delta{q_f} = \delta{q(t_f)} + (\dot{q} + \delta{\dot{q}})\delta{t_f} = \delta{q(t_f)} + \dot{q}\delta{t_f}$$

o

$$\delta{q(t_f)} = \delta{q_f} - \dot{q}\delta{t_f}$$

Answer 2

I) Sugerencia: Descomponer el total variación infinitesimal

$$ \tag{A} \delta q~=~\delta_0 q + \dot{q} \delta t $$

en una vertical infinitesimal variación $\delta_0 q$ y una horizontal infinitesimal variación $\delta t$. Del mismo modo la plena infinitesimal variación se convierte en

$$ \tag{B} \delta I~=~\delta_0 I + \left[ L ~\delta t \right]_{t_1}^{t_2}, $$

cuando la pieza vertical que sigue el estándar de Euler-Lagrange argumento

$$ \tag{C} \delta_0 I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta_0q \right]_{t_1}^{t_2}, $$

y tenemos para la comodidad define el momenta de Lagrange

$$ \tag{D} p~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}. $$

Ahora se combinan nca. (A-D) para obtener eq. (65) en la Ref. 1:

$$ \tag{65} \delta I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta q - (p\dot{q}-L)\delta t\right]_{t_1}^{t_2}, $$

II) en lo Ideológico, cabe resaltar que Ref. 1 es no interesado en la propuesta de un principio variacional para los no-variaciones verticales (como, por ejemplo, Maupertuis principio, o una variante del principio del máximo de Pontryagin, etc). Ref. 1 es simplemente el cálculo no verticales variaciones dentro de una teoría que todavía se rige por el principio de acción estacionaria (por las variaciones verticales).

III) Ref. 1 utiliza principalmente eq. (65) para deducir las propiedades de la en-shell de Dirichlet acción $^1$

$$ \tag{E} S(q_2,t_2;q_1,t_1)~:=~I[q_{\rm cl};t_1,t_2],$$

cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

Referencias:

1. L. B. Szabados, Cuasi-Local de Energía-Impulso y Momentum Angular en GR: UN Artículo de Revisión, que Viven Modif. de la Relatividad, 7 (2004) 4.

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$^1$ Ref. 1 llama a $S(q_2,t_2;q_1,t_1)$ el de Hamilton-Jacobi función principal. Aunque relacionados, el de Hamilton-Jacobi función principal $S(q,P,t)$ está estrictamente hablando otra función, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.