¿Qué son el mapa suave y el campo vectorial en la Fig. 8.2, página 182 de Smooth manifolds, 2nd

Question

El objetivo de esta figura es mostrar que cuando $F$ no es sobreyectiva, entonces el diferencial de $F$ no puede decidir qué vector se puede asignar a los puntos fuera de Im $F$ y cuando $F$ no es inyectiva, entonces para algunos puntos de $N$ puede haber varios vectores diferentes que se obtienen aplicando $dF$ a $X$ en diferentes puntos de M.

Pero me resulta difícil inventar un ejemplo concreto de dicho mapa. Sé que a muchos geómetras profesionales les basta con hacer dibujos para dar tales ejemplos, pero un principiante como yo sigue teniendo curiosidad por (o sospecha de) la existencia de tal mapa. Esto explica por qué quiero encontrar un ejemplo explícito y escrito.

En concreto, ¿existe un campo vectorial suave en $\mathbb S^1$ y un mapa suave de $\mathbb S^1$ a $\mathbb R^2$ (Tenga en cuenta que el ejemplo que quiero es un mapa suave y un campo vectorial definido en el todo círculo unitario, no sólo un arco abierto del mismo)

Answer 1

Dejemos que $f(x,y)=(2xy,y)$ que es claramente suave en $S^1$ con la imagen de la figura ocho, no es inyectiva ya que envía $(1,0),(-1,0)$ a O. Calcula el pushforward(espero que sea correcto)

$$df_{(x,y)}(\frac{d}{d\theta})=2(2x^2-1)\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}$$

Entonces $df_{(1,0)}(\frac{d}{d\theta})=2\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}$ y $df_{(-1,0)}(\frac{d}{d\theta})=2\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}$ que da dos vectores en el cruce.

$f$ es una composición de una proyección estereográfica, un homeomorfismo entre un intervalo abierto y la recta real y una parametrización de la figura ocho. Al principio pensé que no era extensible al conjunto $S^1$ pero después de los cálculos descubrí que lo es.

Answer 2

Sí, tome el campo vectorial como $\partial/\partial \theta$ y la curva del ocho para ser una inmersión que dibuje esa figura. A continuación, $dF_t(\partial/\partial \theta)$ es sólo $F'(t)$ (que sólo es la derivada literal con respecto a $t$ ); si $t_1, t_2$ son los dos puntos en $S^1$ enviado al punto malo, entonces $F'(t_1) \neq F'(t_2)$ ya que la curva va en diferentes direcciones. (Por supuesto, podrías calcular esto a mano utilizando cualquiera que sea tu parametrización de la curva en forma de ocho).

El objetivo de esta figura no es dar un contraejemplo explícito, sino hacerse una idea de lo que podría salir mal. Esta es una habilidad importante que debes tratar de desarrollar; tener que presentar contraejemplos explícitos cuando la idea es suficiente puede ser un problema agobiante.

Answer 3

No. El propósito de la imagen es mostrar que no hay un empuje "bien definido" de campo vectorial a campo vectorial en general, incluso si hay una noción bien definida de empuje de sapce tangente.