Estoy tratando de encontrar la cardinalidad de la cadena más grande en$(P(\omega),\subseteq)$ y$(P(\omega_{1}),\subseteq)$. Así que para el primero encontré uno con cardinalidad$2^{\aleph_{0}}$ al bijecting a los reales y usando los cortes dedekind. Pero creo que debe haber más grandes (como en conjuntos finitos). ¿Cómo voy a encontrarlos? Sólo sugerencias :). Gracias
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bof
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La máxima cardinalidad de una cadena en la $P(\omega)$ al menos $2^{\aleph_0}$ como se demostró el uso de Dedekind cortes, y no es más grande que eso, porque es la cardinalidad de a $P(\omega)$ sí, así es exactamente $2^{\aleph_0}$.
El mismo problema para $P(\omega_1)$ es mucho más difícil. La máxima cardinalidad de una cadena en la $P(\omega_1)$ al menos $2^{\aleph_0}$ porque $P(\omega)\subset P(\omega_1)$, y en la mayoría de los $2^{\aleph_1}$ porque $|P(\omega_1)|=2^{\aleph_1}$, pero podría haber un montón de cardenales entre el$2^{\aleph_0}$$2^{\aleph_1}$. En realidad, lo que yo les denomina "la máxima" no existe: no es, ciertamente, una menos que el cardenal $\lambda$ tal que $P(\omega_1)$ sí no contienen una cadena de cardinalidad $\lambda$, pero veo ninguna razón obvia por la $\lambda$ no puede ser un límite cardenal. Al menos, el cofinality de $\lambda$ debe ser mayor que $\omega_1$: es fácil ver que, si $P(\omega_1)$ contiene una cadena de cardinalidad $\kappa_\alpha$ por cada $\alpha\lt\omega_1$, entonces también contiene una cadena de cardinalidad $\kappa=\sum_{\alpha\lt\omega_1}\kappa_\alpha$.
Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, entonces no es una cadena de cardinalidad $2^{\aleph_1}$$P(\omega_1)$. Sugerencia: es como el de la construcción se utiliza para $P(\omega)$, pero con $\{0,1\}^{\omega_1}$ (ordenados lexicográficamente) de jugar el papel de $\mathbb R$, y los elementos con countably muchos distinto de cero de las coordenadas de jugar el papel de los números racionales.
Por lo tanto, podemos demostrar en ZFC que hay una cadena de cardinalidad $\aleph_2$$P(\omega_1)$. Es una extraña prueba por casos, donde utilizamos una construcción si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, y otro de construcción de la si $2^{\aleph_0}\ge\aleph_2$. Me pregunto si hay una forma más elegante de la prueba.
Por lo tanto, si bien $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ o $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$, entonces no es una cadena de cardinalidad $2^{\aleph_1}$$P(\omega_1)$. Si $\aleph_1\lt 2^{\aleph_0}\lt2^{\aleph_1}$. parece que estamos en una zona gris. De acuerdo a los comentarios por Ashutosh en esta pregunta en Matemáticas de Desbordamiento, William Mitchell construido un modelo de la teoría de conjuntos en la que $P(\omega_1)$ sí no contienen una cadena de cardinalidad $2^{\aleph_1}$, en su papel de "Aronszajn árboles y la independencia de la transferencia de la propiedad", Ann. De matemáticas. La lógica 5 (1972), 21-46.
Puede haber alguna información relevante en James E. Baumgartner papel de la "Casi-conjuntos disjuntos, el denso conjunto de problema y la partición de cálculo", Ann. De matemáticas. Logic 9 (1976), 401-439.
