Módulo cuasi coherente sobre esquemas afines

Question

Estoy atrapado por esta cuestión de Liu geometría algebraica libros de texto en el cuasi-coherente de los módulos.

Sea X un esquema afín $\mbox {Spec} A $. Deje $\mathcal {F} $ ser un cuasi-coherentes $\mathcal{O}_{X} $ módulo. Demostrar que para cualquier afín subconjunto abierto U de X tenemos un isomorfismo canónico

$\mathcal {F}(X)\otimes_{A}\mathcal {O}_{X}(U)\cong\mathcal {F}(U) $.

He tratado de reducir el problema a la muy simple caso donde$ U=D (f) $$ f\in A $, lo cual es muy fácil, pero yo no puedo probarlo para el caso general, donde U es cualquier afín a abrir subconjunto. Puede alguien darme algunos consejos? Gracias!

EDIT: todavía estoy trabajando en ello cuando me doy cuenta de que necesito esto: ¿alguien me Puede decir si esto es cierto?

Si $ u\in U $ donde U es un afín subconjunto como antes, entonces es

$\mathcal {F} _{u}=\tilde {\mathcal{F}(X)}_{u}=\tilde {\mathcal {F}(U)}_{u}\cong \mathcal {F}(U)\otimes_{\mathcal{O}_{X}(U)}\mathcal{O}_{X}(U)_{u} $

la expresión anterior verdadera porque es cuasi coherente, más afín a los esquemas?

Answer 1

Al $U$ es el básico-abierto, que tiene por definición. En general, hay un canónica homomorphism $F(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U) \to F(U)$ medico adjunto el mapa de restricción $F(X) \to F(U)$. Si $U$ es cuasi-compacta, es una unión finita de basic-abrir subconjuntos $U_i$ y sus intersecciones $U_{ij} := U_i \cap U_j$ también son básicas a abrir. Ahora mira el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{array}{c} 0 & \rightarrow & F(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U) & \rightarrow & \bigoplus_i F(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U_i) & \rightrightarrows & \bigoplus_{i,j} F(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U_{ij}) \\ && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\\\ 0 & \rightarrow & F(U) & \rightarrow & \bigoplus_i F(U_i) & \rightrightarrows & \bigoplus_{i,j} F(U_{ij})\end{array}$$ La fila inferior es exacta. La fila superior es exacto al $F$ es plano, es decir, cuando se $F(X)$ es plano sobre a $A$. Los dos verticales homomorphisms de la derecha son isomorphisms. Por lo tanto, la vertical homomorphism a la izquierda es un isomorfismo. Si $F$ no es plana, se elige una resolución libre de $F'' \to F' \to F \to 0$. A continuación, $F''(X) \to F'(X) \to F(X) \to 0$ es exacto (porque tenemos cuasi coherente de los módulos en un afín esquemas y $F \mapsto F(X)$ es en realidad una equivalencia de categorías), y, asimismo, para $U$ al $U$ es afín. A continuación, el diagrama conmutativo con las exactas filas $$\begin{array}{c} F''(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U) & \rightarrow & F'(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U) & \rightarrow & F(X) \otimes_A \mathcal{O}_X(U) & \rightarrow & 0 \\ \downarrow && \downarrow && \downarrow & \\ F''(U) & \rightarrow & F'(U) & \rightarrow & F(U) & \rightarrow & 0 \end{array}$$ termina la prueba.

En realidad, esto ofrece otra prueba, que funciona incluso cuando $U$ es solo cuasi-compacto: es evidente que la reclamación tiene al $F=\mathcal{O}_X$, pero también para $F=\mathcal{O}_X^{\oplus I}$ para finito de conjuntos de $I$. Desde $U$ es cuasi-compacto, $F \mapsto F(U)$ (y también para $X$) desplazamientos con filtrado colimits, por lo que la reclamación tiene por $F=\mathcal{O}_X^{\oplus I}$ con cualquier conjunto $I$. Ahora libre de elegir resoluciones para obtener el resultado arbitrario $F$.

Answer 2

Intenté la pregunta, pero será demasiado larga como un comentario en la respuesta anterior, espero que alguien pueda ayudarme a verificar. (Y porque estoy escribiendo esto en el teléfono :()

Necesito mostrar que$\mathcal {F}(X)\otimes_{A}\mathcal {O}_{X}(U)\cong \mathcal {F}(U) $.

El$\mathcal{O}_{X} $ - module$ \mathcal {O}_{X}|_{U}$ es cuasi-coherente porque$ i: U\hookrightarrow X $ corresponde a los morfismos de esquemas afines.

Luego localizando en$ u\in U $, tenemos

$ (\mathcal {F}\otimes_{\mathcal {O}_{X}}i_{*}\mathcal {O}_{X}|_{U})_{u}= \tilde {i_{*}\mathcal {F}|_{U}(X)}_{u} ,$

Cuál es el que necesita revisión.

Entonces los dos esquemas son isomorfos y así obtenemos la conclusión.