Baja dimensión representaciones irreducibles de $S_n$

Question

$n\geq 7$, me gustaría no mostrar que $S_n$ irredicuble las representaciones de dimensión $m$ $2\leq m\leq n-2$.

El problema es que no me permiten usar cualquier "maquinaria" (evidentemente, este problema debe ser resoluble tener conocimiento solo del capítulo 1 de Fulton y Harris).

Por el momento, realmente no tienen ni idea de cómo acercarse, especialmente sin el uso de la teoría del carácter. Cualquier sugerencia sería muy apreciada!

Answer 1

Siguiente Jyricki excelente sugerencia, voy a mostrar que, para$n \neq 4$, $n-2$ representaciones tridimensionales de $S_{n-1}$ no se extienden a las representaciones de $S_n$. Deje $V$ ser el espacio vectorial de $(n-1)$-tuplas de números reales, sumando a$0$, $S_{n-1}$ actuando por permutación. Voy a demostrar que esto no se extiende a una acción de $S_n$.

Supongamos que por el bien de la contradicción que hay una acción de $S_n$ $V$ extender la acción de la $S_{n-1}$. Ya que esta es una acción de un grupo finito de característica cero, conserva una bilineal simétrica forma. Sólo hay uno (a escala) $S_{n-1}$-invariante bilineal simétrica forma en $V$ - a saber, el uno inducida a partir de la norma interna del producto en $\mathbb{R}^{n-1}$. Por lo $S_n$ debe conservar este producto interior.

Para $1 \leq i, j < n$, la transposición $(i j)$ actúa en $V$ por ortogonal de reflexión en el vector $e_i - e_j$. Desde $(i n)$ $(i j)$ son conjugado en $S_n$, sabemos que $(i n)$ hechos por ortogonal reflexión en algunos vector; llamarlo $v_i$.

Para $1 \leq j,k < n$, con $i \neq j$, $k$, los reflejos $(i n)$ $(j k)$ viaje. Esto significa que $e_j -e_k$ $v_i$ deben ser ortogonales. Por lo $v_i$ debe ser de la forma $$v_i = a \cdot \left( \sum_{j \neq i} e_j - (n-2) e_i \right)$$ para algunos escalares $a$.

Ahora recuerdo que ${\Large (} (ij) (in) {\Large )}^3 = \mathrm{Id}$. Por lo que el ángulo entre el $v_i$ $e_i - e_j$ debe $\pi/3$ o $2 \pi /3$. Calculamos $$|e_i - e_j| = \sqrt{2}$$ $$|v_i| = a \sqrt{(n-2)+(n-2)^2 } = a \sqrt{(n-1)(n-2)}$$ $$\langle e_i - e_j, v_i \rangle = a \left( -(n-2) - 1 \right) = - a (n-1).$$ Por lo que el ángulo entre el $v_i$ $e_i -e _j$ es $$\cos^{-1} \left( \frac{-(n-1)}{\sqrt{2(n-1)(n-2)}} \right).$$

Al $n=4$, esto es $\cos^{-1} (-\sqrt{3}/2) = 2 \pi /3$. Y, de hecho, cuando se $n=4$, la acción se extiende! Pero para $n>4$, $\frac{(n-1)}{\sqrt{2(n-1)(n-2)}} \neq \pm \sqrt{3}/2$, por lo que la acción no se extiende.

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Ahora, un bosquejo de cómo terminar con el problema de aquí. Podemos demostrar por inducción de la declaración de

Para $n \geq 5$, la única representación de $S_n$ de la dimensión de $<n$ son directos sumas de (a) el trivial rep (b) el signo de la rep (c) el $n-1$ dimensiones en rep $n$-tuplas de números a sumar a $0$ y (d) el producto tensor de (b) y (c).

El caso base es de izquierda a usted; a partir de considerar los valores propios de la $5$-ciclo es una buena idea.

Deje $W$ ser un representante de $S_n$ de la dimensión de $<n$. Considerar la restricción de $W$$S_{n-1}$. Si $\dim W < n-2$, luego de la inducción muestra que es una suma directa de (a) y (b)'s, y me deja como un ejercicio para demostrar que $W$ es la misma suma directa como una representación de $S_n$.

Si $\dim W = n-2$ $W$ no se compone de (a) y (b), a continuación, $W$ es de tipo (c) o (d). El resultado anterior da una contradicción en el primer caso, y tensoring con el signo de la rep y, a continuación, aplicar el resultado anterior da una contradicción en el segundo caso.

Por último, debemos lidiar con las posibilidades al $\dim V = n-1$. Los detalles se dejan para usted, pero creo que modificando el argumento de arriba va a hacer en este caso.