Hay un grupo con exactamente 92 elementos de orden 3?

Question

El número de elementos de orden 2 en un grupo bastante restringido: 0, impar, o el infinito. Todas esas posibilidades se producen ya en el trivial grupo y en diedro grupos.

El número de elementos de orden 3 en un grupo puede ser demostrado ser igualmente restringida: 0, 2 mod 6, o el infinito. Sin embargo, algo extraño sucede: no todas las posibilidades puede ser realizado.

Peor aún, hay un número bastante reducido que no puedo decidir si es o no es el número de elementos de orden 3 en un número finito de grupo:

Hay un grupo con exactamente 92 elementos de orden 3?

Con más audacia, me gustaría saber (pero se sienten libres para contestar la primera pregunta):

Exactamente los números que se producen cuando el número de elementos de orden 3 en un grupo?

Fondo: estas preguntas se estudiaron un poco por Sylow y en mayor medida por Frobenius. El teorema de que el número de elementos de orden p es igual a -1 mod p está contenido en uno de Frobenius del año 1903 papeles. Ya que algunos elementos de orden 3 vienen en pares, esto duplica a dar 2 mod 6 para p=3.

Sin embargo, Frobenius resultados han mejorado unos 30 años más tarde por P. Hall, quien demostró que si la Sylow p-subgrupos no son cíclicos, entonces el número de elementos de orden p es -1 mod p².

Si el Sylows son cíclicos de orden pⁿ, entonces el número de subgrupos de orden p es congruente con 1 mod pⁿ por el método de recuento estándar. Si el Sylow en sí es de orden p, entonces el subgrupo generado por los elementos de orden p actúa con fidelidad y transitivamente en los subgrupos de Sylow, así que para pequeños números suficientes, el subgrupo sólo puede ser buscado.

En todos los casos, podemos suponer que el grupo es finito ya que el subgrupo generado por los elementos de un orden fijo es finito (suponiendo que sólo hay un número finito de elementos de ese orden fijo).

Ejemplo más sencillo: Por ejemplo, no hay ningún grupo con exactamente 68 elementos de orden 3, ya que un grupo cíclico de Sylow 3-subgrupos por Sala, de la orden de 3 Sylows por el conteo, pero entonces tendría 34 Sylow 3-subgrupos, de manera que (el subgrupo generado por los elementos de orden 3) ser un primitivo grupo de grado 34. Uno revisa la lista de grupos primitivos de grado 34 (es decir, Un₃₄ y S₃₄, ambos con descomunal Sylow 3-subgrupos), a ver que no hay tal grupo existe.

También se podría tratar de 140, pero la acción no necesita ser primitivo, por lo que la búsqueda de la tabla es más difícil. Un grupo ha Sylows de orden 3, pero no es solucionable, por lo que es algo restringido.

Answer 1

Aquí está mi intento, fijado por Septimus Harding:

Si H es un grupo con 92 elementos de orden 3, entonces que G sea el subgrupo generado por los elementos. G tiene orden finito por Dicman del lema, y, entonces G tiene un Sylow 3-subgrupo P.

P debe ser cíclico, para Hall, el resultado implica 46≡4 mod 9. Puesto que P es cíclica, 46≡1 mod |P|, entonces |P| divide 45, de modo que |P| es 1, 3, o 9. 1 es imposible, ya que habría 0 elementos de orden 3. 3 es imposible, ya que entonces G tiene 46 Sylow 3-subgrupos, pero no finito grupo de 46 Sylow p-subgrupos. Entonces, P es cíclico de orden 9.

Ahora G actúa por conjugación en el 46 subgrupos de orden 3, y desde el Sylow 3-subgrupos cíclicos y (todos) su orden de 3 subgrupos son conjugado, G actúa transitivamente sobre el 46 subgrupos. Vamos Q = Ω(P) ≤ P ser uno de los subgrupos de orden 3, y supongamos que M = N_G(Q) ser su normalizador. Entonces N = N_G(P) ≤ M y [G:M] = 46. Si M ≤ X ≤ G, entonces [M:N] y [X:N] ≡1 mod 3 por Sylow, pero [X:N] = [X:M][M:N], entonces [X:M] ≡ 1 mod 3. Sin embargo [X:M] divide 46, por lo que [X:M] = 1 o 46, por lo que X = M o G, y para M es una máxima de los subgrupos de G. Entonces G actúa primitivamente en 46 puntos (los cosets de N, es decir, los subgrupos de orden 3), por lo que G/Core(G,M) es una primitiva de grupo de grado 46, es decir, G/Core(G,M) es la alternancia o el grupo simétrico de 46 puntos. Desde el Sylow 3-subgrupos de la alternancia y grupos simétricos (de 6 o más puntos) no cíclico, tenemos una contradicción, y no hay tal G existe.

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Este trabaja para demostrar que: si n=pq para los números primos p,q ≡ {5,8} mod 9, y si la única grupos primitivos de grado pq no-cíclico de Sylow de 3 subgrupos (como Alt(n) y Sym(n)), entonces no hay ningún grupo con exactamente 2n elementos de orden 3, aunque 2n ≡ 2 mod 6. Creo que grupos primitivos de grado pq son clasificados, así que esto probablemente podría ser hecho completamente explícita. 140 elementos de inmediato no se maneja, ya que el 70 = 2*5*7 pero sospecho que la misma idea de trabajo.