En una prueba de la integridad de $l^\infty$ en este página, el autor encuentra un punto límite candidato $x$ para una secuencia cauchy $x^n$ . A continuación, elige un $\varepsilon$ y luego considera $\varepsilon/2$ y dice que podemos encontrar $N > 0$ tal que $$|x_k^n - x_k^m | < \frac{\varepsilon}{2},$$ para todos $k$ y para todos $n, m > N$ .
Entonces toma el límite como $m \to \infty$ y obtiene $$|x_k^n - x_k| \le \frac{\varepsilon}{2},$$ para todo k y para $n > N$ .
Pregunta
No veo cómo esto se ha convertido en una expresión menos que o igual a en contraposición a la expresión original menos que? Aquí están mis trabajos detallados:
Para $n, m > N$ tenemos
$ \begin{align} |x_k^n - x_k^m| & < \frac{\varepsilon}{2} \\ \lim_{m \to \infty} |x_k^n - x_k^m| & < \lim_{m \to \infty} \frac{\varepsilon}{2} \\ |x_k^n - \lim_{m \to \infty} x_k^m| & < \frac{\varepsilon}{2} \\ |x_k^n - x_k| & < \frac{\varepsilon}{2} \\ \end{align} $
¿Me he perdido algo o el autor está equivocado? ¿En qué parte de mi trabajo he cometido un error si es que estoy equivocado?
