Integral compleja multidimensional de una función holomorfa sin polos

Question

Estoy buscando una generalización del teorema integral de Cauchy. Sé que hay generalizaciones de la fórmula de la integral de Cauchy (por ejemplo, la fórmula de Bochner-Martinelli), pero no sé si ésta se simplifica como yo esperaría. En el análisis complejo de una sola variable, tenemos el teorema integral de Cauchy: $$ \oint_{\gamma}f(z) = 0 $$ si $f(z)$ es una función holomorfa sin polos dentro de la región que $\gamma$ encierra.

Si $f(z_1\cdots,z_n)$ es una función holomorfa en $n$ variables complejas sin polos dentro de un dominio $D$ ¿es cierto que $$ \oint_{\partial D}f(z_1,\cdots,z_n) = 0 $$

Answer 1

La versión "local" del teorema integral de Cauchy sería algo así Supongamos que $f$ es holomorfa en (una vecindad) del polidisco $\Omega = \mathbb{D}(z_1,r_1) \times \mathbb{D}(z_2,r_2) \times \cdots \times \mathbb{D}(z_n,r_n)$ . Entonces $$ \int_{|\zeta-z_1|=r_1} \int_{|\zeta-z_2|=r_2}\cdots\int_{|\zeta_n-z_n|=r_n} f(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_n)\,d\zeta_1\cdots d\zeta_n. $$ Pero para que esto se mantenga, incluso basta con suponer que $f$ es holomorfo en un de las variables (integrar primero con respecto a esta variable para obtener el cero...) por lo que no es muy útil.

Más útil es la generalización directa de la regla de Cauchy fórmula integral a los polidiscos. Si $f$ es holomorfa en (una vecindad) del polidisco $\Omega = \mathbb{D}(z_1,r_1) \times \mathbb{D}(z_2,r_2) \times \cdots \times \mathbb{D}(z_n,r_n)$ y $a \in \Omega$ entonces

$$ f(a) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{|\zeta-z_1|=r_1} \int_{|\zeta-z_2|=r_2}\cdots\int_{|\zeta_n-z_n|=r_n} \frac{f(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_n)}{(\zeta_1-a_1)(\zeta_2-a_2)\cdots(\zeta_n-a_n)}\,dz_1\cdots dz_n. $$

Lo realmente fascinante es que estamos integrando sólo en un pequeño parte del límite de $\Omega$ .

Answer 2

Siguiendo con la respuesta de @mrf: Otra forma de hacerlo es generalizar el Teorema del Residuo. Si $f$ es meromorfa en una vecindad de $a\in\Bbb C$ puede escribir $$\frac1{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{df}{f} = \text{Res}(f,a).$$ Generalizar a $n$ dimensiones, puede considerar $n+1$ funciones holomórficas $f_1,\dots,f_n,g$ en un barrio de $a\in \Bbb C^n$ avec $\{a\} = f_1^{-1}(0)\cap\dots\cap f_n^{-1}(0)$ . Entonces, para las pequeñas $r_1,\dots,r_n>0$ , dejemos que $\gamma = f_1^{-1}(r_1)\cap\dots\cap f_n^{-1}(r_n)$ ; tenga en cuenta que $\gamma$ es un suave $n$ -ciclo de la dimensión. Sea $\omega = \frac{g\,df_1\wedge\dots\wedge df_n}{f_1\cdots f_n}$ . Entonces tenemos el Teorema del Residuo $$\frac1{(2\pi i)^n}\int_\gamma \omega = \text{Res}(\omega,a)\,,$$ siempre que orientemos $\gamma$ correctamente. Correspondiente a la meromorfa $n$ -forma $\omega$ el isomorfismo de Dolbeault da ahora un $(n,n-1)$ -forma $\psi$ definida en una vecindad perforada de $a$ y $$\text{Res}(\omega,a) = \int_{S^{2n-1}(\epsilon)} \psi$$ para los pequeños $\epsilon>0)$ .

Una fuente muy legible, si quieres seguir con esto, es el comienzo del capítulo 5 de Griffiths y Harris.