Probablemente sea una pregunta estúpida, pero no veo la diferencia entre los dos subgrupos:
$$C_G(A)=\{g\in G| gag^{-1}=a,\forall a\in A\}$$ $$Z(G)=\{g\in G| ga=ag,\forall a\in G\}$$
La diferencia es que el centralizador toma un subconjunto $A\in G$ y el centro siempre utiliza todo el grupo $G$ ?
Convertir los comentarios en una respuesta real:
Sí, tenemos el caso especial $C_G(G)=Z(G)$ por lo que la noción de centralizador puede pensarse como una generalización de los centros, ya que el centralizador $C_G(A)$ funciona para cada subconjunto $A$ de $G$ (nótese que no tiene que ser un subgrupo).
En cuanto al normalizador, $Z(G)\subseteq C_G(A)\subseteq N_G(A)$ para cada subgrupo $A\leq G$ y $N_G(A)$ es el subgrupo máximo de $G$ en el que $A$ es normal. El normalizador también puede definirse para un subconjunto arbitrario, y lo anterior sigue siendo válido salvo que ahora debemos decir que $\langle A \rangle$ el subgrupo generado por $A$ es normal en $N_G(A)$ y el normalizador es maximal con respecto a esta propiedad.
@PKStyles No. Aquí $C_G(A) = \{ g \in G \ : \ ga=ag \ \forall a\in A \}$ . Es el estabilizador puntual de $A$ en $G$ . Contiene el centro de $A$ cuando $A$ es un (sub)grupo, pero puede ser estrictamente mayor. Consideremos el caso de que $A$ es un subgrupo (o incluso sólo un subconjunto) de $Z(G)$ por ejemplo. Entonces $C_G(A)=G$ .
El normalizador de un subconjunto de un grupo es la parte del grupo que conmuta con el subconjunto (pero no necesariamente manteniendo fijo el elemento del subconjunto): $g$ en el normalizador de $H \subset G$ significa $gH = Hg$ o más específicamente, $gh_1 = h_2 g$ para algunos $h_1, h_2 \in H$ .
El centralizador de un subconjunto de un grupo es la parte del grupo que conmuta con el subconjunto elementalmente (es decir, manteniendo el elemento del subconjunto fijo): $g$ en el centralizador de $H \subset G$ significa $gh = hg$ para todos $h \in H$ . Claramente, la conmutación elemental implica la conmutación con el subconjunto, por lo que el normalizador de un subconjunto contiene el centralizador de ese subconjunto.
El centro de un grupo es la parte del grupo que conmuta con todo en el grupo. Conmutar con todo implica conmutar con elementos de algún subconjunto, por lo que el centralizador de un subconjunto contiene el centro del grupo.
Juntando todo esto: $Z(G) \subset C_G(H) \subset N_G(H)$ .
En cuanto a " $\leq$ "... El centralizador y el normalizador se definen en sub establece . Puede resultar que un subconjunto sea también un subgrupo, pero esto no es necesario. (Esencialmente siempre será el caso de que los subconjuntos son subgrupos una vez que se ha pasado el material que introduce estas definiciones). Por eso he utilizado " $\subset$ " en lo anterior.
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Sí, $C_G(G) = Z(G)$ .
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@Stefan Gracias y ¿dónde está el normalizador?
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Sí, el centralizador generaliza el centro porque es relevante para los subgrupos, no sólo para todo el grupo.
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En cuanto al normalizador $Z(G) \subseteq C_G(A) \subseteq N_G(A)$ para cada subgrupo $A \le G$ y $N_G(A)$ es el subgrupo máximo de $G$ en el que $A$ es normal.
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Precioso, ¡gracias @Stefan!
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De nada.
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@Stefan Sólo para estar seguros en general, ¿la notación $A\leq G$ se refieren únicamente a la cardinalidad (cuando $G$ es un grupo y $A$ es un grupo dicen)?
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No estoy seguro de si esta es la notación estándar, pero en todos mis cursos de teoría de grupos $A \le G$ significa que $A$ es un subgrupo de $G$ , mientras que $A \unlhd G$ significa que $A$ es un subgrupo normal de $G$ .
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@Stefan Yo tenía la misma anotación, pero no es universal.