$\int_{\gamma}f(z)\log\left(\frac{z+1}{z-1}\right)dz = 2\pi i\int_{x=-1}^{x=1}f(x)dx$ en una elipse

Question

Soy autodidacta y este es un problema de un curso que he estado haciendo. Agradecería que me ayudaran a mostrarlo:

$$\int_{\gamma}f(z)\log\left(\frac{z+1}{z-1}\right)dz = 2\pi i\int_{x=-1}^{x=1}f(x)dx$$

donde $\gamma$ es una elipse con focos en $-1$ y $1$ y $f$ es analítica dentro y sobre ella.

Inicialmente pide mostrar $\left(\frac{z+1}{z-1}\right)\in [-\infty,0]$ si $z\in[-1,1]$ .

Esto parece correcto en el sentido de que sustituyendo $-1$ y $1$ y, a continuación, probar $+1/2$ y $-1/2$ mostrar que es $\leq 0$ .

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Construir un contorno $C$ que consta de los siguientes segmentos:

• una elipse $\gamma$ de la forma $z=a \cos{t} + i \sqrt{a^2-1} \sin{t}$ , $a \gt 1$ , $t \in [-\pi,\pi]$
• un segmento de línea $z \in [-a,-1-\epsilon)$ justo por encima del eje real
• un semicírculo de radio $\epsilon$ y el centro $z=-1$ por encima del eje real
• un segmento de línea $z \in [-1+\epsilon,1-\epsilon]$ justo por encima del eje real
• un círculo de radio $\epsilon$ centrado en $z=1$
• un segmento de línea $z \in [1-\epsilon,-1+\epsilon]$ justo por debajo del eje real
• un semicírculo de radio $\epsilon$ y el centro $z=-1$ por debajo del eje real
• un segmento de línea $z \in (-1-\epsilon,-a]$ justo por debajo del eje real

$C$ se ilustra en la siguiente figura.

Por el teorema de Cauchy,

$$\oint_C dz \, f(z) \log{\left ( \frac{z+1}{z-1} \right )} = 0$$

ya que el integrando es analítico dentro de $C$ . Podemos escribir la integral de contorno en términos de cada segmento de $C$ que figuran en la lista anterior. Sin embargo, como $\epsilon \to 0$ las integrales sobre los segmentos segundo, tercero, quinto, séptimo y octavo desaparecen juntas. (Brevemente, el segundo y el octavo se cancelan porque no están a lo largo del corte de la rama, mientras que las integrales sobre los semicírculos desaparecen como $\epsilon \to 0$ .)

Ahora, nota que a lo largo del cuarto segmento,

$$z+1 = |z+1| e^{i 0}$$ $$z-1 = |z-1| e^{i \pi}$$

y a lo largo del sexto segmento,

$$z+1 = |z+1| e^{i 0}$$ $$z-1 = |z-1| e^{-i \pi}$$

Entonces podemos escribir

$$\int_{\gamma} dz \, f(z) \log{\left ( \frac{z+1}{z-1} \right )} + \int_{-1}^1 dx \, f(x) [(\log{|x+1|} + i 0) - (\log{|x-1|} + i \pi)] \\ + \int_1^{-1} dx \, f(x) [(\log{|x+1|} + i 0) - (\log{|x-1|} - i \pi)]= 0$$

Obsérvese que los términos del registro se cancelan. La ecuación anterior da como resultado

$$ \int_{\gamma} dz \, f(z) \log{\left ( \frac{z+1}{z-1} \right )} = i 2 \pi \int_{-1}^1 dx \, f(x) $$

como se iba a demostrar.