Tipo de orden del conjunto de todos los elementos de límite en$\omega^{\omega}$

Question

¿Cuál crees que es el tipo de orden de$\{\alpha\in\omega^{\omega}:\alpha\ \text{is a limit ordinal number}\}$?

Mi primer pensamiento fue$\omega$, pero cuando visualicé el conjunto mencionado anteriormente,$\omega^2$ parece tener contablemente muchos elementos de límite, y mucho menos$\omega^{\omega}$. Entonces la otra suposición es$\omega^{\omega}$, pero no es posible. No tengo idea ahora ...

¿Algún consejo?

Answer 1

La respuesta es en realidad$\omega^\omega$.

Puede encontrar un formulario de biyección$\{\alpha\in\omega^{\omega}:\alpha\ \text{is a limit ordinal number}\}$ a$\omega^\omega$ asignando el ordinal$\omega^{n+1}\cdot a_n+\omega^{n}\cdot a_{n-1}+\omega^{n-1}\cdot a_{n-2}\cdots \omega^2\cdot a_1+\omega \cdot a_0$ a$\omega^n\cdot a_n+\omega^{n-1}\cdot a_{n-1}+\omega^{n-2}\cdot a_{n-2}\cdots \omega\cdot a_1+a_0$